Uma casa é aquecida por uma bomba de calor que mantém a temperatura interna constante em
, enquanto a temperatura externa é de
. As perdas de calor da casa ocorrem a uma taxa de
. Determine a potência mínima necessária para operar a bomba de calor, assumindo desempenho máximo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Temperatura interna mantida:
. - Temperatura externa:
. - Perdas de calor da casa (energia que a bomba deve repor) a uma taxa de
. - Pergunta: determinar a potência mínima necessária para operar a bomba de calor, supondo desempenho máximo.
Em resumo: sabemos quanto de calor por hora precisa ser fornecido e as temperaturas internas/externas; temos que achar a menor potência (trabalho por unidade de tempo) que, na melhor situação possível, faz esse serviço.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicado lentamente): quando uma bomba de calor opera com desempenho máximo ideal, ela funciona reversivelmente — isto é, como um ciclo de Carnot entre duas temperaturas. Para uma bomba de calor que fornece calor ao reservatório quente, o coeficiente de performance (COP) reversível é dado por
onde:
-
é a temperatura absoluta (em kelvin) do interior da casa, para a qual queremos entregar calor; -
é a temperatura absoluta (em kelvin) do exterior, de onde extraímos calor.
Explicação intuitiva: o COP diz quantas unidades de calor ao interior conseguimos por cada unidade de trabalho fornecida. Quanto maior a diferença
, mais trabalho é necessário; por isso o denominador aparece ali.
Passo 3
Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (obrigatório para usar a fórmula da Carnot):
A relação é
.
Portanto:
Passo 4
Calcular o
usando os valores em kelvin:
Vou arredondar quando fizer a conta final, mas aqui já vemos que o COP ideal é cerca de
.
Passo 5
Converter a taxa de perda de calor para unidades de potência (kW), porque queremos potência mínima:
Dado
. Como
e
, então
Ou seja, a casa perde calor à taxa
.
Passo 6
Relação entre potência térmica fornecida, COP e potência de entrada (trabalho por unidade de tempo):
onde
é a potência térmica entregue ao ambiente quente e
é a potência elétrica (ou trabalho por tempo) fornecida à bomba. Portanto
Usando
e
:
Arredondando razoavelmente,
.
Se quiser também em
, multiplica por
:
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: esse valor é o mínimo teoricamente possível (limite de Carnot). Bombas reais têm
menores (pior desempenho), então na prática uma bomba exigirá potência maior que esse mínimo. Mas matematicamente, com desempenho máximo, precisamos de cerca de
.