Uma casa é aquecida por uma bomba de calor que mantém a temperatura interna constante em 22^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura externa é de -8^{\circ} \mathrm{C}. As perdas de calor da casa ocorrem a uma taxa de 160000 \mathrm{~kJ} / \mathrm{h}. Determine a potência mínima necessária para operar a bomba de calor, assumindo desempenho máximo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Temperatura interna mantida: 22^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: -8^\circ\mathrm{C}.
  • Perdas de calor da casa (energia que a bomba deve repor) a uma taxa de 160000\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Pergunta: determinar a potência mínima necessária para operar a bomba de calor, supondo desempenho máximo.
Em resumo: sabemos quanto de calor por hora precisa ser fornecido e as temperaturas internas/externas; temos que achar a menor potência (trabalho por unidade de tempo) que, na melhor situação possível, faz esse serviço.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado lentamente): quando uma bomba de calor opera com desempenho máximo ideal, ela funciona reversivelmente — isto é, como um ciclo de Carnot entre duas temperaturas. Para uma bomba de calor que fornece calor ao reservatório quente, o coeficiente de performance (COP) reversível é dado por
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_{\text{quente}}}{T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}},
onde:
  • T_{\text{quente}} é a temperatura absoluta (em kelvin) do interior da casa, para a qual queremos entregar calor;
  • T_{\text{frio}} é a temperatura absoluta (em kelvin) do exterior, de onde extraímos calor.
Explicação intuitiva: o COP diz quantas unidades de calor ao interior conseguimos por cada unidade de trabalho fornecida. Quanto maior a diferença T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}, mais trabalho é necessário; por isso o denominador aparece ali.

Passo 3

Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (obrigatório para usar a fórmula da Carnot):
A relação é T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.
Portanto:
T_{\text{quente}} = 22^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 295{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{frio}} = -8^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 265{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} usando os valores em kelvin:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{295{,}15}{295{,}15-265{,}15}=\frac{295{,}15}{30{,}00}=9{,}838\ldots
Vou arredondar quando fizer a conta final, mas aqui já vemos que o COP ideal é cerca de 9{,}84.

Passo 5

Converter a taxa de perda de calor para unidades de potência (kW), porque queremos potência mínima:
Dado 160000\\ \mathrm{kJ/h}. Como 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ/s} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, então
\dot{Q}= \frac{160000\\ \mathrm{kJ}}{3600\\ \mathrm{s}}=44{,}444\ldots\\ \mathrm{kJ/s}=44{,}444\ldots\\ \mathrm{kW}.
Ou seja, a casa perde calor à taxa \dot{Q}\approx 44{,}444\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Relação entre potência térmica fornecida, COP e potência de entrada (trabalho por unidade de tempo):
\mathrm{COP}=\frac{\dot{Q}}{\dot{W}},
onde \dot{Q} é a potência térmica entregue ao ambiente quente e \dot{W} é a potência elétrica (ou trabalho por tempo) fornecida à bomba. Portanto
\dot{W}=\frac{\dot{Q}}{\mathrm{COP}}.
Usando \dot{Q}=44{,}444\\ \mathrm{kW} e \mathrm{COP}=9{,}838\ldots:
\dot{W}=\frac{44{,}444\ldots}{9{,}838\ldots}=4{,}5188\ldots\\ \mathrm{kW}.
Arredondando razoavelmente, \dot{W}\approx 4{,}52\\ \mathrm{kW}.
Se quiser também em \mathrm{kJ/h}, multiplica por 3600:
\dot{W}\approx 4{,}5188\\ \mathrm{kW}\times 3600\\ \mathrm{s/h}=16267{,}7\\ \mathrm{kJ/h}\approx 16270\\ \mathrm{kJ/h}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: esse valor é o mínimo teoricamente possível (limite de Carnot). Bombas reais têm \mathrm{COP} menores (pior desempenho), então na prática uma bomba exigirá potência maior que esse mínimo. Mas matematicamente, com desempenho máximo, precisamos de cerca de 4{,}52\\ \mathrm{kW}.

Resposta

4{,}52\\ \mathrm{kW} (aprox.)