Considere um sistema fechado constituído por uma massa
de gás ideal cuja relação de calores específicos
é constante
. Desprezando as variações de energia cinética e de energia potencial gravitacional mostre: Que em qualquer processo adiabático o trabalho é dado pela seguinte expressão:
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema fechado com uma massa
de gás ideal, onde a relação dos calores específicos é constante
. Queremos demonstrar que, em qualquer processo adiabático, o trabalho realizado é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna, o calor trocado e o trabalho realizado, além das propriedades dos processos adiabáticos e das relações entre os calores específicos para gases ideais.
Passo 2
Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente, ou seja,
. A primeira lei da termodinâmica é dada por:
Como
, a equação simplifica para:
Isso significa que a variação da energia interna do sistema é igual ao trabalho realizado pelo sistema.
Passo 3
Para um gás ideal, a variação da energia interna (
) está relacionada à massa do gás, ao calor específico a volume constante (
) e à variação de temperatura:
Substituindo na equação anterior:
Passo 4
Isolando o trabalho
:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado pelo sistema.
Passo 5
Sabemos que a relação dos calores específicos é
. Além disso, para gases ideais, a diferença entre o calor específico a pressão constante (
) e o calor específico a volume constante (
) é igual à constante dos gases ideais (
):
A partir disso, podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 6
Substituindo
na expressão do trabalho:
Simplificando:
Passo 7
Para ajustar o sinal e deixar a expressão de acordo com o solicitado, multiplicamos numerador e denominador por
: