Um dado não honesto de seis faces produz o resultado 6 com probabilidade p, e cada uma das demais faces de 1 a 5 com a mesma probabilidade q. Se x é a variável aleatória que representa o resultado do lançamento do dado, ou seja, x \in\{1,2,3,4,5,6\} :
(a) determine o valor de q com base na normalização das probabilidades;
(b) escreva a distribuição de probabilidades de x, P(x), em termos de deltas de Dirac;
(c) calcule o valor médio e o desvio padrão de x;
(d) teste os resultados do item anterior para o caso particular de um dado honesto.

Passo 1

O enunciado nos dá um dado de seis faces com probabilidades diferentes: a face 6 sai com probabilidade p e cada uma das faces 1,2,3,4,5 sai com a mesma probabilidade q. A variável aleatória x representa o resultado do lançamento, logo x\in\{1,2,3,4,5,6\}.
As perguntas que o enunciado faz são:
(a) determinar q usando a condição de normalização das probabilidades;
(b) escrever a distribuição de probabilidades P(x) em termos de deltas de Dirac;
(c) calcular o valor médio (esperança) e o desvio padrão de x;
(d) verificar os resultados do item (c) para o caso particular do dado honesto.
Informações relevantes dadas:
  • Probabilidade da face 6 é p.
  • Probabilidade de cada face k\in\{1,2,3,4,5\} é q.
  • As probabilidades somam 1 (normalização).

Passo 2

Determinar q pela normalização das probabilidades.
Explicação rápida do princípio: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Aqui há cinco faces com probabilidade q mais a face 6 com probabilidade p. Portanto escrevemos a equação de normalização e resolvemos:
5q + p = 1.
Isolando q:
q = \frac{1-p}{5}.
Interpretação: dado p (probabilidade da face 6), as outras cinco probabilidades idênticas são \dfrac{1-p}{5}.

Passo 3

Escrever a distribuição de probabilidades P(x) em termos de deltas de Dirac.
Breve comentário didático sobre deltas de Dirac aqui: para representar uma distribuição discreta como função de densidade generalizada, usamos deltas de Dirac \delta(\cdot) centradas nos pontos inteiros. A probabilidade de x em k fica associada ao coeficiente multiplicando \delta(x-k). Assim a distribuição é:
P(x)=\sum_{k=1}^{5} q\,\delta(x-k) + p\,\delta(x-6).
Onde q é o valor encontrado no Passo 2, isto é q=\dfrac{1-p}{5}. Essa expressão significa que a massa de probabilidade em cada ponto k é exatamente o coeficiente que multiplica \delta(x-k).

Passo 4

Calcular o valor médio \mathbb{E}[X].
Definição útil (para variável discreta): a esperança é a soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades,
\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^{6} k\;P(X=k).
Aqui P(X=k)=q para k=1,\dots,5 e P(X=6)=p. Então
\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^{5} k q + 6p.
Compute a soma \sum_{k=1}^{5} k = 1+2+3+4+5 = 15. Substituindo:
\mathbb{E}[X]=15 q + 6p.
Agora substituímos q=\dfrac{1-p}{5}:
\mathbb{E}[X]=15\cdot\frac{1-p}{5} + 6p = 3(1-p) + 6p = 3 + 3p.
Interpretação: a média varia linearmente com p, indo de 3 quando p=0 até 6 quando p=1.

Passo 5

Calcular a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio padrão \sigma.
Definição: \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}] - (\mathbb{E}[X])^{2}, e o desvio padrão é \sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.
Primeiro calcule \mathbb{E}[X^{2}]:
\mathbb{E}[X^{2}]=\sum_{k=1}^{6} k^{2} P(X=k)=\sum_{k=1}^{5} k^{2} q + 6^{2} p.
Calcule \sum_{k=1}^{5} k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55. Assim
\mathbb{E}[X^{2}]=55 q + 36 p.
Substituindo q=\dfrac{1-p}{5}:
\mathbb{E}[X^{2}]=55\cdot\frac{1-p}{5} + 36p = 11(1-p) + 36p = 11 + 25p.
Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\bigl(11 + 25p\bigr) - \bigl(3 + 3p\bigr)^{2}.
Calcule o quadrado:
\bigl(3 + 3p\bigr)^{2} = 9 + 18p + 9p^{2}.
Então
\mathrm{Var}(X)=11 + 25p - 9 - 18p - 9p^{2} = 2 + 7p - 9p^{2}.
Portanto o desvio padrão é
\sigma=\sqrt{\,2 + 7p - 9p^{2}\,}.
Comentário prático: em prova, calcule E[X] e E[X^2] por somas simples como fizemos, substitua q e aplique a fórmula da variância.

Passo 6

Verificação para o caso do dado honesto ( p=\tfrac{1}{6}).
Primeiro q:
q = \frac{1-p}{5} = \frac{1 - \tfrac{1}{6}}{5} = \frac{\tfrac{5}{6}}{5} = \frac{1}{6},
ou seja, todas as faces têm probabilidade 1/6 (uniforme), como esperado.
Média:
\mathbb{E}[X]=3 + 3p = 3 + 3\cdot\frac{1}{6} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3,5.
Variância:
\mathrm{Var}(X)=2 + 7p - 9p^{2} = 2 + 7\cdot\frac{1}{6} - 9\cdot\frac{1}{36}.
Calcule termo a termo:
2 = \frac{24}{12},\qquad 7\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{6}=\frac{14}{12},\qquad 9\cdot\frac{1}{36}=\frac{1}{4}=\frac{3}{12}.
Somando:
\mathrm{Var}(X)=\frac{24+14-3}{12}=\frac{35}{12}.
Desvio padrão:
\sigma=\sqrt{\frac{35}{12}}\approx 1,7078.
Resultado conhecido: para o dado justo a média é 3,5 e a variância é \tfrac{35}{12}, confirmando que nossos resultados gerais reduzem corretamente ao caso honesto.

Resposta

(a) q=\dfrac{1-p}{5}.
(b) P(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{5} q\,\delta(x-k) + p\,\delta(x-6), com q=\dfrac{1-p}{5}.
(c) \mathbb{E}[X]=3+3p,
\displaystyle \sigma=\sqrt{\,2 + 7p - 9p^{2}\,}.
(d) Para o dado honesto p=\dfrac{1}{6}: q=\dfrac{1}{6},
\mathbb{E}[X]=\dfrac{7}{2}=3,5,
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{35}{12},
\sigma=\sqrt{\dfrac{35}{12}}\approx 1,7078.