Um dado não honesto de seis faces produz o resultado 6 com probabilidade
, e cada uma das demais faces de 1 a 5 com a mesma probabilidade
. Se
é a variável aleatória que representa o resultado do lançamento do dado, ou seja,
:
(a) determine o valor de
com base na normalização das probabilidades;
(b) escreva a distribuição de probabilidades de
, em termos de deltas de Dirac;
(c) calcule o valor médio e o desvio padrão de
;
(d) teste os resultados do item anterior para o caso particular de um dado honesto.
(a) determine o valor de
(b) escreva a distribuição de probabilidades de
(c) calcule o valor médio e o desvio padrão de
(d) teste os resultados do item anterior para o caso particular de um dado honesto.
Passo 1
O enunciado nos dá um dado de seis faces com probabilidades diferentes: a face
sai com probabilidade
e cada uma das faces
sai com a mesma probabilidade
. A variável aleatória
representa o resultado do lançamento, logo
.
As perguntas que o enunciado faz são:
(a) determinar usando a condição de normalização das probabilidades;
(b) escrever a distribuição de probabilidades em termos de deltas de Dirac;
(c) calcular o valor médio (esperança) e o desvio padrão de ;
(d) verificar os resultados do item (c) para o caso particular do dado honesto.
(a) determinar
(b) escrever a distribuição de probabilidades
(c) calcular o valor médio (esperança) e o desvio padrão de
(d) verificar os resultados do item (c) para o caso particular do dado honesto.
Informações relevantes dadas:
- Probabilidade da face
é . - Probabilidade de cada face
é . - As probabilidades somam
(normalização).
Passo 2
Determinar
pela normalização das probabilidades.
Explicação rápida do princípio: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser
. Aqui há cinco faces com probabilidade
mais a face
com probabilidade
. Portanto escrevemos a equação de normalização e resolvemos:
Isolando
:
Interpretação: dado
(probabilidade da face 6), as outras cinco probabilidades idênticas são
.
Passo 3
Escrever a distribuição de probabilidades
em termos de deltas de Dirac.
Breve comentário didático sobre deltas de Dirac aqui: para representar uma distribuição discreta como função de densidade generalizada, usamos deltas de Dirac
centradas nos pontos inteiros. A probabilidade de
em
fica associada ao coeficiente multiplicando
. Assim a distribuição é:
Onde
é o valor encontrado no Passo 2, isto é
. Essa expressão significa que a massa de probabilidade em cada ponto
é exatamente o coeficiente que multiplica
.
Passo 4
Calcular o valor médio
.
Definição útil (para variável discreta): a esperança é a soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades,
Aqui
para
e
. Então
Compute a soma
. Substituindo:
Agora substituímos
:
Interpretação: a média varia linearmente com
, indo de
quando
até
quando
.
Passo 5
Calcular a variância
e o desvio padrão
.
Definição:
, e o desvio padrão é
.
Primeiro calcule
:
Calcule
. Assim
Substituindo
:
Agora a variância:
Calcule o quadrado:
Então
Portanto o desvio padrão é
Comentário prático: em prova, calcule E[X] e E[X^2] por somas simples como fizemos, substitua
e aplique a fórmula da variância.
Passo 6
Verificação para o caso do dado honesto (
).
Primeiro
:
ou seja, todas as faces têm probabilidade
(uniforme), como esperado.
Média:
Variância:
Calcule termo a termo:
Somando:
Desvio padrão:
Resultado conhecido: para o dado justo a média é
e a variância é
, confirmando que nossos resultados gerais reduzem corretamente ao caso honesto.
Resposta
(a)
(b)
com
(c)
(d) Para o dado honesto
: