Deduza as expressões matemáticas para:
a variação da entropia com a temperatura, mantendo a pressão constante

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir as expressões matemáticas para a variação da entropia com a temperatura, mantendo a pressão constante.
Informações dadas (implícitas na frase): temos entropia \!S, temperatura \!T e processo a pressão constante \!P= const. Queremos relacionar a variação de \!S com a variação de \!T nesse processo.

Passo 2

Lembrete fundamental (segunda lei da termodinâmica, forma diferencial para um processo reversível): a variação infinitesimal de entropia \!dS está ligada ao calor reversível trocado \!\delta Q_{\text{rev}} por
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Explicando devagar: \!dS é a mudança infinitesimal da entropia; \!\delta Q_{\text{rev}} é a quantidade infinitesimal de calor trocada de forma reversível; \!T é a temperatura absoluta. Essa relação define entropia termodinâmica.

Passo 3

Agora use a condição “pressão constante”. Para um processo reversível a pressão constante, o calor reversível trocado pode ser expresso por
\delta Q_{\text{rev}}=C_p\,dT,
onde \!C_p é a capacidade calorífica à pressão constante (pode ser a capacidade calorífica total do sistema ou a molar \!C_{p,m} se trabalharmos por mol). Explicando: \!C_p diz quanto de calor é necessário para aumentar a temperatura em uma unidade quando a pressão é mantida constante; por isso o calor trocado ao aumentar a temperatura de \!T para \!T+dT é \!C_p\,dT.

Passo 4

Substituindo \!\delta Q_{\text{rev}}=C_p\,dT na expressão da entropia do Passo 2, obtemos
dS=\frac{C_p\,dT}{T}.
Isso é uma expressão diferencial que já responde à pergunta local (a variação diferencial de \!S em função de \!T a \!P constante). Se quisermos a derivada parcial da entropia em relação à temperatura à pressão constante, interpretamos dS como variação de \!S para variação de \!T com \!P fixo, logo
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P=\frac{C_p}{T}.
Explicando: \left(\partial S/\partial T\right)_P é a taxa de variação de \!S por unidade de \!T quando a pressão não muda. A fórmula diz que essa taxa é \!C_p/T.

Passo 5

Queremos também a variação finita de entropia entre duas temperaturas \!T_1 e \!T_2 a pressão constante. Integrando a expressão diferencial do Passo 4, obtemos
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT.
Aqui deixei \!C_p(T) para o caso geral em que \!C_p depende da temperatura. Explicando: a integral soma infinitesimais \!dS entre \!T_1 e \!T_2.

Passo 6

Casos práticos e formas úteis que você vai usar na prova:
  • Se \!C_p for aproximadamente constante no intervalo de temperaturas (caso comum para estimativas rápidas), a integral simplifica para
\Delta S=C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explique comigo: tiramos \!C_p fora da integral porque é constante e integramos 1/T que dá \ln T.
  • Se trabalhar por mol, substitua \!C_p por \!C_{p,m} (capacidade molar) e \!\Delta S será a variação de entropia por mol; forma idêntica:
\Delta S_m=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,m}(T)}{T}\,dT \quad\text{e, para }C_{p,m}=\text{const,}\quad \Delta S_m=C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).

Passo 7

Relação com entalpia (útil para conectar conceitos): pela definição de entalpia e capacidades térmicas,
\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P=C_p.
Então outra maneira de ver a expressão diferencial é
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P=\frac{1}{T}\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P,
ou, para variação finita,
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{1}{T}\,dH=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT,
o que reconfirma o que já deduzimos. Explicando: isso mostra a ligação entre entropia, calor e entalpia em processos isotérmicos ou isotérmicos em P constante.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (mentalmente): se aquecer 1 mol de gás ideal com C_{p,m}= 20{,}8\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} de T_1=300\\ \mathrm{K} para T_2=600\\ \mathrm{K} e C_{p,m} for constante, então
\Delta S_m=C_{p,m}\ln\!\left(\frac{600}{300}\right)=20{,}8\ln(2)\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Isso é só para você ver como aplicar rapidamente a fórmula na prova.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P=\frac{C_p}{T}\n
\displaystyle \Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT\n
Se \;C_p= const: \displaystyle \Delta S=C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)