Deduza as expressões matemáticas para:
a variação da entropia com a temperatura, mantendo a pressão constante
a variação da entropia com a temperatura, mantendo a pressão constante
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir as expressões matemáticas para a variação da entropia com a temperatura, mantendo a pressão constante.
Informações dadas (implícitas na frase): temos entropia , temperatura
e processo a pressão constante
const. Queremos relacionar a variação de
com a variação de
nesse processo.
Informações dadas (implícitas na frase): temos entropia
Passo 2
Lembrete fundamental (segunda lei da termodinâmica, forma diferencial para um processo reversível): a variação infinitesimal de entropia
está ligada ao calor reversível trocado
por
Explicando devagar:
é a mudança infinitesimal da entropia;
é a quantidade infinitesimal de calor trocada de forma reversível;
é a temperatura absoluta. Essa relação define entropia termodinâmica.
Passo 3
Agora use a condição “pressão constante”. Para um processo reversível a pressão constante, o calor reversível trocado pode ser expresso por
onde
é a capacidade calorífica à pressão constante (pode ser a capacidade calorífica total do sistema ou a molar
se trabalharmos por mol). Explicando:
diz quanto de calor é necessário para aumentar a temperatura em uma unidade quando a pressão é mantida constante; por isso o calor trocado ao aumentar a temperatura de
para
é
.
Passo 4
Substituindo
na expressão da entropia do Passo 2, obtemos
Isso é uma expressão diferencial que já responde à pergunta local (a variação diferencial de
em função de
a
constante). Se quisermos a derivada parcial da entropia em relação à temperatura à pressão constante, interpretamos
como variação de
para variação de
com
fixo, logo
Explicando:
é a taxa de variação de
por unidade de
quando a pressão não muda. A fórmula diz que essa taxa é
.
Passo 5
Queremos também a variação finita de entropia entre duas temperaturas
e
a pressão constante. Integrando a expressão diferencial do Passo 4, obtemos
Aqui deixei
para o caso geral em que
depende da temperatura. Explicando: a integral soma infinitesimais
entre
e
.
Passo 6
Casos práticos e formas úteis que você vai usar na prova:
- Se
for aproximadamente constante no intervalo de temperaturas (caso comum para estimativas rápidas), a integral simplifica para
Explique comigo: tiramos
fora da integral porque é constante e integramos
que dá
.
- Se trabalhar por mol, substitua
por (capacidade molar) e será a variação de entropia por mol; forma idêntica:
Passo 7
Relação com entalpia (útil para conectar conceitos): pela definição de entalpia e capacidades térmicas,
Então outra maneira de ver a expressão diferencial é
ou, para variação finita,
o que reconfirma o que já deduzimos. Explicando: isso mostra a ligação entre entropia, calor e entalpia em processos isotérmicos ou isotérmicos em P constante.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar (mentalmente): se aquecer 1 mol de gás ideal com
de
para
e
for constante, então
Isso é só para você ver como aplicar rapidamente a fórmula na prova.
Resposta
Se