- 4.7-4: A equação fundamental de um fluido particular é
, onde
. Dois moles deste fluido são usados como sistema auxiliar em um ciclo de Carnot, operando entre dois reservatórios térmicos a
e
. Na primeira expansão isotérmica,
são extraidos do reservatório de alta temperatura. Encontre a transferência de calor e a transferência de trabalho para cada um dos quatro processos no ciclo de Carnot. Calcule a eficiência do ciclo diretamente a partir das transferências de trabalho e calor recém-calculadas. Essa eficiência concorda com a eficiência teórica de Carnot? Dica: Problemas de ciclo de Carnot geralmente são melhor discutidos em termos de um diagrama T-S para o sistema auxiliar.
Passo 1
O enunciado dá a “equação fundamental” do fluido
com
. Temos
moles no sistema auxiliar que realiza um ciclo de Carnot entre temperaturas
e
. Ou seja,
Na primeira expansão isotérmica (a
) o sistema recebe
do reservatório quente. O que o problema pede:
- a transferência de calor
e a transferência de trabalho para cada um dos quatro processos do ciclo de Carnot (dois isotérmicos e duas adiabáticas reversíveis); - calcular a eficiência do ciclo a partir dos
e obtidos e verificar se coincide com a eficiência teórica de Carnot.
Dados relevantes listados:
- equação fundamental dada;
-
, , , ; -
(isotérmica quente); - ciclo de Carnot reversível (logo: processos isotérmicos reversíveis e adiabáticos reversíveis; em cada isotérmica reversível
, em cada adiabática reversível e ).
Passo 2
Transformando a equação fundamental para escrever
como função de
. Da equação dada,
Agora usamos as relações termodinâmicas fundamentais: a temperatura é a derivada parcial
Derivando
em relação a
(mantendo
fixos),
Isolando
da expressão acima e substituindo em
notamos uma grande simplificação. Primeiro escrevemos
Substituindo em
,
Portanto uma forma muito simples vale para todo estado do sistema:
Essa relação é muito útil — elimina
,
e
das contas de energia interna porque a dependência original se reorganiza.
Observação física e matemática:
é a constante já presente na equação (presumimos que seja a constante apropriada indicada no enunciado) e aparece em
. Não precisamos do valor numérico de
absoluto para algumas quantidades (diferenças de entropia), mas aparece se quisermos valores absolutos de
ou de trabalhos individuais em adiabatas.
Passo 3
Aplicando a primeira lei e a expressão encontrada para
nas isotérmicas:
Primeira lei (convenção: calor positivo para o sistema, trabalho positivo quando realizado pelo sistema):
Para uma isotérmica reversível a temperatura
é constante e
. Usando
com
constante:
Como
, obtemos
Logo, para qualquer isotérmica reversível deste sistema vale
Aplicando a primeira lei:
Portanto, para qualquer isotérmica do ciclo:
Passo 4
Calculemos explicitamente a isotérmica quente (processo 1→2):
Pelo resultado do passo anterior:
Também é útil a variação de entropia durante essa isotérmica:
Passo 5
As adiabáticas reversíveis (processos 2→3 e 4→1) têm por definição
e
. Para o nosso sistema, com
constante numa adiabática,
varia apenas porque
muda. Usando
e sabendo
constante sobre o processo, a variação de
entre temperaturas
e
em uma adiabática de entropia
é
Como
, a primeira lei dá
Aplicando aos nossos dois adiabatas:
- Para o adiabático 2→3 (expansão): entropia constante é
, temperatura cai de para . Assim
- Para o adiabático 4→1 (compressão): entropia constante é
, temperatura sobe de para . Assim
Observe que
e
não são totalmente fixados pelo enunciado: só sabemos que
Portanto podemos eliminar
escrevendo
. Assim as expressões acima podem ser escritas em função de
(um parâmetro de estado inicial que não foi dado explicitamente). Ou seja:
Conclusão importante: as adiabáticas têm
e seus trabalhos individuais dependem do valor absoluto de
(ou equivalentemente do valor absoluto de
), que não foi especificado no enunciado. Porém a soma dos trabalhos adiabáticos e as quantidades globais do ciclo ficam determinadas pelos
conhecidos; veremos isso a seguir.
Passo 6
Isotérmica fria (processo 3→4): como o ciclo é reversível e cíclico, a entropia total volta ao valor inicial; isso implica que a variação de entropia na isotérmica fria é
Portanto o calor rejeitado para o reservatório frio é
Numericamente,
então
Pelo resultado do passo 3, o trabalho na isotérmica fria é
e a variação de energia interna nessa isotérmica é
Passo 7
Trabalhos e calor totais do ciclo e eficiência.
O trabalho líquido por ciclo é a soma dos trabalhos dos quatro processos. Pela primeira lei integrada no ciclo (ΔU ciclo = 0) temos que o trabalho líquido é igualmente a diferença entre calor absorvido e calor rejeitado:
Numericamente:
(Nota: valor obtido é consistente com soma dos trabalhos individuais conhecidos:
+
+
; como mostrado antes, os dois trabalhos adiabáticos somados são fixados pela condição cíclica mas cada um individualmente depende de
.)
A eficiência do ciclo, calculada diretamente por definição, é
Substituindo números:
Portanto a eficiência obtida coincide exatamente com a eficiência teórica de Carnot
. Essa igualdade pode ser demonstrada algebraicamente como fizemos: a relação
decorre diretamente da reversibilidade (conservação de entropia) e daí vem
.
Resposta
Processo 1→2 (isotérmica a
):
Processo 2→3 (adiabática reversível):
(depende de
ou
;\ sinal positivo indica trabalho realizado pelo sistema).
Processo 3→4 (isotérmica a
):
Processo 4→1 (adiabática reversível):
(depende de
; sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema).
Eficiência do ciclo calculada:
(ou
). Essa eficiência concorda com a eficiência teórica de Carnot.