Escreva a equação do balanço de energia no sistema e identifique os termos que aparecem na forma:
a. integral.
b. diferencial.
c. taxa temporal em regime transiente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Escrever a equação do balanço de energia no sistema.
  • Identificar quais termos aparecem na forma integral.
  • Identificar quais termos aparecem na forma diferencial.
  • Identificar qual termo representa a taxa temporal em regime transiente.
Informações relevantes (o que vou usar):
  • “Sistema” aqui será primeiramente um sistema fechado (massa fixa). Depois eu mostro também a forma usada para volume de controle por conveniência.
  • Vou decompor a energia total do sistema nas contribuições usuais: energia interna, energia cinética e energia potencial.
  • Convenção de sinais para a primeira lei (forma prática): ganho de energia do sistema = calor recebido menos trabalho realizado pelo sistema.

Passo 2

Definições e notação (bem mastigado):
  • E é a energia total do sistema (J).
  • A energia total do sistema é a soma, para cada pequena parcela de massa, da energia específica e (energia por unidade de massa):
E=\int_{m} e\,\mathrm{d}m.
  • A energia específica e normalmente é escrita como soma de:
e = u + \tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^{2} + gz,
onde:
  • u é a energia interna específica (J/kg);
  • \tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^{2} é a energia cinética específica (J/kg), com \mathbf{v} velocidade;
  • gz é a energia potencial específica (J/kg), com g aceleração da gravidade e z altura.
Explicação curta: escrever E como integral sobre a massa significa somar a contribuição energética de cada pedacinho de massa que compõe o sistema.

Passo 3

Equação do balanço de energia — forma integral (sistema fechado, variação entre dois estados)
  • A primeira lei para um sistema fechado, entre um estado inicial e um final, é:
\Delta E = Q - W,
onde:
  • \Delta E = E_{\text{final}}-E_{\text{inicial}} é a variação de energia do sistema (J);
  • Q é o calor transferido para o sistema (J);
  • W é o trabalho feito pelo sistema sobre as vizinhanças (J).
Identificação do termo em forma integral:
  • O próprio E pode ser escrito de modo integral como eu mostrei:
E=\int_{m} e\,\mathrm{d}m.
  • Assim a forma integral do balanço (entre dois instantes) combina a variação dessa integral com os termos Q e W:
\int_{m}\! e\,\mathrm{d}m\Big|_{t_1}^{t_2} = Q - W.
Comentário didático: essa é a forma que se usa quando se quer somar energias de cada pedaço da massa do sistema — por isso é uma expressão integral.

Passo 4

Equação do balanço de energia — forma diferencial (forma infinitesimal)
  • Se passarmos para variação infinitesimal, escrevemos a primeira lei para o sistema como:
\mathrm{d}E = \delta Q - \delta W.
Explicando símbolos:
  • \mathrm{d}E é a diferença infinitesimal da função estado E;
  • \delta Q e \delta W são incrementos de calor e trabalho (não são diferenciais exatas de estado, por isso uso \delta).
  • Em termos por unidade de massa (energia específica), escrevendo E=m\bar{e} (massa m fixa),
\mathrm{d}\bar{e} = \frac{\delta Q}{m} - \frac{\delta W}{m}.
Identificação do termo em forma diferencial:
  • A presença de \mathrm{d}E e das variações infinitesimais \delta Q,\delta W é a forma diferencial do balanço. Essa forma é útil para manipular equações e derivar equações locais quando combinado com propriedades termodinâmicas.

Passo 5

Taxa temporal em regime transiente (sistema fechado)
  • Para situações transientes (quando a energia do sistema varia no tempo), é natural dividir por \mathrm{d}t e escrever a taxa temporal:
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = \dot{Q} - \dot{W},
onde:
  • \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} é a taxa de variação temporal da energia do sistema (J/s);
  • \dot{Q}=\dfrac{\delta Q}{\mathrm{d}t} é a taxa de calor entrando no sistema (W);
  • \dot{W}=\dfrac{\delta W}{\mathrm{d}t} é a potência de trabalho feita pelo sistema (W).
  • Esse termo \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} é exatamente a “taxa temporal em regime transiente” pedida: quando o sistema não está em regime estacionário, a energia muda no tempo e essa derivada é o termo que mede essa mudança.
Exemplo rápido: se um corpo rígido recebe calor a 100\\ \text{W} e faz trabalho à potência 30\\ \text{W}, então \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=100-30=70\\ \text{W}, ou seja, a energia interna aumenta a 70 J/s.

Passo 6

Forma para volume de controle (útil se a questão envolver escoamentos) — forma integral com termo transiente explícito
  • Para um volume de controle (aberto) a forma integral geral de conservação de energia é:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{CV}\rho e\,\mathrm{d}V + \int_{CS}\rho e\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,\mathrm{d}A = \dot{Q} - \dot{W} + \text{(termos de trabalho de fluxo/pressão, etc.)},ã
onde:
  • \rho é a densidade (kg/m^3);
  • e é energia específica (J/kg);
  • CV é o volume de controle (região fixa no espaço);
  • CS é a superfície de controle que cerca o volume;
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é a velocidade normal à superfície (positiva para saída);
  • O primeiro termo \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{CV}\rho e\,\mathrm{d}V é o termo transiente, ou seja, a taxa de acumulação de energia dentro do volume de controle.
Identificação do termo transiente nesta forma:
  • O termo transiente é a derivada temporal do integral: \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\int_{CV}\rho e\,\mathrm{d}V. Ele representa a acumulação (ou depleção) de energia no volume com o tempo.

Passo 7

Resumo e como usar na prova (dicas práticas)
  • Se a questão fala explicitamente “sistema” (massa fixa), use as formas:
    • integral: \displaystyle \Delta E=\int_{m} e\,\mathrm{d}m\Big|_{t_1}^{t_2}=Q-W;
    • diferencial: \displaystyle \mathrm{d}E=\delta Q-\delta W;
    • taxa temporal (transiente): \displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{Q}-\dot{W}.
  • Se a questão envolver escoamento (entrada/saída de massa), passe para a forma de volume de controle e a identifique o termo transiente como \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{CV}\rho e\,\mathrm{d}V.
  • Em prova, ao apresentar, escreva primeiro a definição de E (integral sobre a massa), depois a primeira lei (integral), em seguida a forma diferencial e por fim divida por \mathrm{d}t para mostrar a taxa temporal.

Resposta

a. Integral: \displaystyle \Delta E=\int_{m} e\,\mathrm{d}m\Big|_{t_1}^{t_2}=Q-W.
b. Diferencial: \displaystyle \mathrm{d}E=\delta Q-\delta W.
c. Taxa temporal (regime transiente): \displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{Q}-\dot{W} (para volume de controle o termo transiente é \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{CV}\rho e\,\mathrm{d}V).

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