Escreva equações análogas à Equação (5.5a) para a diferencial exata da energia interna, du, em função de cada um dos seguintes conjuntos de variáveis independentes:
Passo 1
O enunciado diz: temos a energia interna
como função das variáveis independentes temperatura e pressão, isto é
, e pede para escrever equações análogas à Equação (5.5a) para a diferencial exata
em função dessas variáveis.
Informações relevantes fornecidas:
(portanto teremos
escrito em termos de
e
).
O que se pede: achar a expressão de como combinação linear de
e
, e identificar os coeficientes (derivadas parciais).
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: achar a expressão de
Passo 2
Começamos da relação termodinâmica fundamental que relaciona
, entropia e volume:
Aqui
é a temperatura,
a entropia,
a pressão e
o volume. Essa igualdade é a forma diferencial da primeira e segunda leis combinadas para variação reversível de energia interna.
Passo 3
Precisamos escrever
em função de
e
. Para isso usamos dois resultados padrão:
- A capacidade térmica a pressão constante é
Isto é a definição prática de
(energia necessária para aumentar a temperatura em
mantendo
constante).
2) A relação de Maxwell que vem de (onde
é energia livre de Gibbs) dá
2) A relação de Maxwell que vem de
Com essas duas fórmulas podemos escrever o diferencial total de
:
Expliquei cada termo:
vem de 1) e o segundo termo vem da relação de Maxwell 2).
Passo 4
Também precisamos escrever
(o diferencial total do volume) em função de
e
. O diferencial total é:
Aqui
é a variação do volume com
à pressão constante (relacionada ao coeficiente de expansão térmica) e
é a variação do volume com a pressão à temperatura constante (relacionada à compressibilidade).
Passo 5
Agora substituímos
(Passo 3) e
(Passo 4) na expressão de
do Passo 2:
Reagrupando os termos multiplicando
e
temos:
Passo 6
Interpretando: para
os coeficientes acima são as derivadas parciais de
:
Se preferir, pode também escrever os coeficientes usando o coeficiente de expansão térmica
e a compressibilidade isotérmica
, lembrando que
e
. Nesse caso: