• Expansão isotérmica: O volume do gás aumenta sem variação da energia interna.
  • Expansão adiabática: O volume do gás aumenta sem troca de calor com o ambiente.
    (a) Em qual desses processos o trabalho realizado pelo gás é maior? Explique.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra comparar dois processos de expansão de um gás ideal:
  • Expansão isotérmica: o gás expande a temperatura constante (ΔU = 0).
  • Expansão adiabática: o gás expande sem trocar calor com o ambiente (Q = 0).
O que a gente precisa saber:
  1. A definição de trabalho num processo termodinâmico, que é W = integralVi^Vf P,dV
  2. As equações características de cada processo para relacionar e :
    • Isotérmico (temperatura constante): .
    • Adiabático (sem calor, ): .
A ideia é calcular (ou pelo menos comparar) essas integrais para ver em qual delas o trabalho é maior.

Passo 2

Expansão isotérmica:
  • Como a Wrm iso = integralVi^Vf P,dV = integralVi^Vf nRTV,dV = nRT integralVi^Vf dVV = nRT ,ln!l(VfVir) é constante, vale a lei dos gases ideais .
  • Então

Passo 3

Expansão adiabática:
  • Aqui não entra calor ( Wrm ad = integralVi^Vf P,dV = integralVi^Vf KV^gamma,dV = K integralVi^Vf V^-gamma,dV ) e vale Wrm ad = K ,V^1-gamma1-gamma|Vi^Vf = PiVi^gamma1-gammal(Vf^1-gamma-Vi^1-gammar) .
  • Logo Wrm ad = PiVi - PfVfgamma-1 = nRgamma-1,(Ti - Tf) . Se chamarmos , então
  • Integrando,
  • Como , às vezes a gente reorganiza pra Note que, na adiabática, a temperatura cai ( ), então .

Passo 4

Comparando:
  • No isotérmico a temperatura fica alta o tempo todo, então a pressão média durante a expansão é maior do que na adiabática (onde o gás esfria e a pressão cai mais rápido).
  • Matemática rápida: Wrm iso = nRTi,ln!l(tfracVfVir), Wrm ad = nRgamma-1l(Ti - Tfr) = nR,Tigamma-1l[1 - l(tfracViVfr)^gamma-1r] Para ln!l(tfracVfVir) > 1gamma-1l[1 - l(tfracViVfr)^gamma-1r], e Wrm iso > Wrm ad , dá pra mostrar que logo

Resposta

O trabalho realizado pelo gás é maior na expansão isotérmica do que na expansão adiabática.

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