Ao longo de uma pequena faixa de pressões e temperaturas, a equação de estado de um certo a substância é dada com razoável precisão pela relação:
P vR T=1-C^prime PT^4 v=R TP-CT^3
onde C e C são constantes.
Derive uma expressão para a mudança de entalpia e entropia desta substância em um processo isotérmico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação de estado para uma substância específica, relacionando pressão $ P $, volume molar $ v $, temperatura $ T $ e algumas constantes $ C $ e $ C’ P é \Delta H v \Delta S $) mudam durante um processo isotérmico, ou seja, um processo onde a temperatura permanece constante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como as definições de entalpia e entropia, e aplicar a equação de estado fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é entalpia. A entalpia ($ H $) é uma função de estado que representa a quantidade total de energia de um sistema, definida por:
H
onde $ U $ é a energia interna, $ P $ é a pressão e $ V $ é o volume. Para encontrar a mudança de entalpia ($ \Delta H $) em um processo, precisamos entender como $ H $ varia com as condições do sistema.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com um processo isotérmico (temperatura constante), sabemos que a mudança na energia interna ($ \Delta U $) para um gás ideal seria zero. Contudo, nossa equação de estado tem termos adicionais, então $ \Delta U $ pode não ser zero aqui. A entalpia muda conforme:
De
Vamos precisar expressar $ \Delta U $ e $ \Delta (P V) $ usando a equação de estado fornecida.

Passo 4

Dada a equação de estado:
v = R TP - CT^3
Onde $ v $ é o volume molar. Como o processo é isotérmico, $ T $ é constante. Para encontrar $ \Delta H $, precisamos expressar $ H $ em termos de $ P $ e $ V $ e depois calcular a variação.

Passo 5

Expressando $ H $:
H
Mas, para simplificar, podemos relacionar a mudança de entalpia diretamente com a pressão e o volume usando a equação de estado:
H = U + P V
Devido à equação de estado, podemos integrar para encontrar $ \Delta H $.

Passo 6

Agora, para a entropia ($ S $), sabemos que:
S
Em um processo isotérmico, a troca de calor ($ Q $) está relacionada ao trabalho realizado. Usando a primeira lei da termodinâmica e a equação de estado, podemos integrar para encontrar $ \Delta S $.

Resposta

Após realizar as integrações necessárias utilizando a equação de estado fornecida, as expressões para a mudança de entalpia e entropia durante um processo isotérmico são:
De
De
Onde:
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões inicial e final,
  • $ C’ $ é a constante fornecida na equação de estado,
  • $ T $ é a temperatura constante do processo.

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