1.5 A massa específica do Au é 19,3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} à temperatura ambiente e 1 atm . (a) Expresse esta massa específica \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. (b) Se o ouro é vendido por US$800 por onça-troy (troy ounce), qual seria o preço de um metro cúbico de ouro? Uma troy ounce =480gramas, 1 grama =\frac{1}{7000}libras, 1 libra =453,59 \mathrm{~g}.

Passo 1

O enunciado dá a massa específica do ouro como \rho=19,3\\ \mathrm{g/cm^3} à temperatura ambiente e pede:
  • (a) expressar \rho em \mathrm{kg/m^3}.
  • (b) sabendo que o ouro é vendido a US$ 800 por troy ounce, calcular o preço de 1\\ \mathrm{m^3} de ouro.
    Para (b) usaremos as conversões:
    1 troy ounce =480 grains,
    1 grain = \tfrac{1}{7000} pound,
    1 pound =453,59 g.

Passo 2

Converter \rho de \mathrm{g/cm^3} para \mathrm{kg/m^3}.
Sabendo que 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg} e 1\\ \mathrm{cm^3}=10^{-6}\\ \mathrm{m^3},
cada \mathrm{g/cm^3} equivale a
\frac{10^{-3}\\ \mathrm{kg}}{10^{-6}\\ \mathrm{m^3}}=10^3\\ \mathrm{kg/m^3}.
Logo,
\rho = 19,3\\ \mathrm{g/cm^3} = 19,3\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3} = 1,93\times10^4\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Calcular a massa de ouro em 1\\ \mathrm{m^3}:
m = \rho \times V = 1,93\times10^4\\ \mathrm{kg/m^3}\times1\\ \mathrm{m^3} =1,93\times10^4\\ \mathrm{kg}.
Em gramas,
m = 1,93\times10^4\\ \mathrm{kg}\times10^3\\ \mathrm{g/kg} =1,93\times10^7\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Determinar a massa de uma troy ounce em gramas:
1 troy ounce =480 grains,
cada grain = \tfrac{1}{7000} pound,
e 1 pound =453,59 g.
Portanto,
m_{\text{oz}} = 480 \times\Bigl(\frac{1}{7000}\\ \mathrm{lb}\Bigr)\times453,59\\ \mathrm{g/lb} =480\times\frac{453,59}{7000}\\ \mathrm{g} \approx31,1035\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Calcular quantas troy ounces há em 1\\ \mathrm{m^3}:
N = \frac{\text{massa total em g}}{m_{\text{oz}}} = \frac{1,93\times10^7\\ \mathrm{g}}{31,1035\\ \mathrm{g}} \approx6,2042\times10^5\\ \text{troy oz}.

Passo 6

O preço de 1\\ \mathrm{m^3} de ouro é
\text{Preço} = N \times 800\\ \text{US\$} \approx6,2042\times10^5 \times800 \approx4,9634\times10^8\\ \text{US\$}.ç

Resposta

(a) \displaystyle1,93\times10^4\\ \mathrm{kg/m^3}.
(b) Aproximadamente \displaystyle4,96\times10^8 US$ por metro cúbico.

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