Mostre que a equação de Clapeyron para o equilibrio liquido/vapor pode ser escrita na forma reduzida:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se mostrar que a equação de Clapeyron para o equilíbrio líquido/vapor pode ser escrita na forma reduzida
- Informações e definições que vamos usar:
- A equação de Clapeyron na sua forma usual é
onde é o calor latente de vaporização e é a diferença de volumes molar entre vapor e líquido. - Define-se a pressão reduzida de saturação
e a temperatura reduzida , onde e são pressão e temperatura críticas (constantes). - Define-se o fator de compressibilidade
por . Para líquido e vapor teremos e ; escrevemos . - A constante universal dos gases é
.
- A equação de Clapeyron na sua forma usual é
Passo 2
Escrever
em termos de
,
,
e
.
-
Partindo da definição
, isolamos : Aquié o volume molar, o fator de compressibilidade correspondente, a constante dos gases, a temperatura e a pressão. -
Para líquido e vapor:
-
Portanto a diferença de volumes molares é
Expliquei passo a passo: usei a relação entre
,
,
e
e substituí para obter
em função de
.
Passo 3
Substituir
na equação de Clapeyron e simplificar.
-
Partindo desubstitui-se
: -
Expliquei cada passo: a fração do denominador foi invertida ao multiplicar, e
.
Passo 4
Transformar a expressão anterior em forma logarítmica e aplicar a definição de
.
-
Dividindo ambos os lados por
obtemos O lado esquerdo é exatamente a derivada do logaritmo natural: -
Como
e é constante, tem-se , logo
Passo 5
Trocar a variável de derivação de
para
usando regra da cadeia e obter a forma com
.
-
Relação entre variáveis reduzidas:
. Assim, pela regra da cadeia, e consequentemente -
Substituindo a expressão de
obtida no Passo 4: -
Finalmente usar
para simplificar:
Passo 6
Introduzir a notação reduzida para o calor latente e concluir.
- Definindo
substituindo na expressão do Passo 5 obtém-se a forma desejada do enunciado.