(9,0 Pontos) O catálogo de um fabricante especifica para um condensador operando com R22 uma capacidade de refrigeração de 204 kW , para temperaturas de evaporação e condensação, respectivamente, iguais a -2^{\circ} \mathrm{C} e 40^{\circ} \mathrm{C}. A vazão da água de resfriamento é de 10 \mathrm{l} / \mathrm{s} e a sua temperatura na entrada do condensador é de 29^{\circ} \mathrm{C}. Qual deve ser a temperatura de condensação se a vazão e a temperatura da água de resfriamento são mantidas constantes, mas a capacidade de refrigeração é reduzida à metade daquela de catálogo?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Capacidade de refrigeração de catálogo: \;204\\ \mathrm{kW}.
  • Temperaturas de projeto (catálogo): evaporação =-2^\circ\mathrm{C} (não usada no cálculo) e condensação =40^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão de água de resfriamento: \;10\\ \mathrm{L/s}.
  • Temperatura de entrada da água no condensador: \;29^\circ\mathrm{C}.
  • Situação nova: manter a mesma vazão e temperatura de entrada da água, mas reduzir a capacidade de refrigeração à metade (ou seja, \;102\\ \mathrm{kW}).
  • Pergunta: qual deve ser a temperatura de condensação na nova situação?
Dados numéricos reunidos (para fácil consulta):
\dot V_\text{água}=10\\ \mathrm{L/s}=10\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{\text{w,in}}=29^\circ\mathrm{C},á
Q_1=204\\ \mathrm{kW},\quad Q_2=102\\ \mathrm{kW}.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando a física de forma simples):
  • O calor rejeitado pelo refrigerante no condensador é absorvido pela água: energia conservada, então Q é igual ao fluxo de calor trocado no trocador.
  • Para um condensador com o refrigerante à temperatura de saturação praticamente constante ( T_{\text{cond}}) e a água variando de temperatura entre entrada e saída, a troca térmica é descrita por
Q = U A \cdot \Delta T_{\mathrm{lm}},
onde U A é a condutância térmica global (produto da área pela condutância) e \Delta T_{\mathrm{lm}} é a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD — Log Mean Temperature Difference).
  • Como a geometria e a vazão da água não mudam, assumimos U A constante entre as duas situações. Então podemos obter U A a partir das condições de catálogo e usar esse valor para achar a nova T_{\text{cond}} quando Q é reduzido.
  • Fórmula da LMTD para este caso (refrigerante a temperatura constante, água com entrada e saída):
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\big)},
onde \Delta T_1 = T_{\text{cond}}-T_{\text{w,in}} e \Delta T_2 = T_{\text{cond}}-T_{\text{w,out}}.
Vou aplicar isso passo a passo, sem pular conta nenhuma.

Passo 3

Primeiro calculo a massa de água e uso uma capacidade calorífica típica da água:
\dot m_{\text{w}}=10\\ \mathrm{kg/s},\qquad c_{p,\text{w}}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Também converto potências para watts:
Q_1=204000\\ \mathrm{W},\qquad Q_2=102000\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calculo a elevação de temperatura da água e a temperatura de saída na condição de catálogo ( Q_1):
\Delta T_{\text{w},1}=\frac{Q_1}{\dot m_{\text{w}} c_{p,\text{w}}} =\frac{204000}{10\cdot 4180} \approx 4{,}8775\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_{\text{w,out},1}=T_{\text{w,in}}+\Delta T_{\text{w},1}=29^\circ\mathrm{C}+4{,}8775^\circ\mathrm{C} \approx 33{,}8775^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calculo a LMTD na situação de catálogo e determino U A.
As diferenças de temperatura são
\Delta T_1 = T_{\text{cond},1}-T_{\text{w,in}}=40^\circ\mathrm{C}-29^\circ\mathrm{C}=11{,}0\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_{\text{cond},1}-T_{\text{w,out},1}=40^\circ\mathrm{C}-33{,}8775^\circ\mathrm{C}=6{,}1225\\ \mathrm{K}.
Agora a LMTD:
\Delta T_{\mathrm{lm},1}=\frac{11{,}0-6{,}1225}{\ln\!\big(\dfrac{11{,}0}{6{,}1225}\big)} =\frac{4{,}8775}{\ln(1{,}7977)}\approx 8{,}325\\ \mathrm{K}.
Assim
U A=\frac{Q_1}{\Delta T_{\mathrm{lm},1}}=\frac{204000}{8{,}325}\approx 24\,500\\ \mathrm{W/K}.
(Arredondei U A para manter números limpos; o procedimento numérico mantém consistência.)

Passo 6

Agora uso U A para a nova situação Q_2. Primeiro a elevação da água com Q_2:
\Delta T_{\text{w},2}=\frac{Q_2}{\dot m_{\text{w}} c_{p,\text{w}}} =\frac{102000}{10\cdot 4180} \approx 2{,}4388\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{\text{w,out},2}=29^\circ\mathrm{C}+2{,}4388^\circ\mathrm{C}\approx 31{,}4388^\circ\mathrm{C}.
Denotando a nova temperatura de condensação desconhecida por T_{\text{cond},2}, as diferenças relevantes são
\Delta T_1' = T_{\text{cond},2}-T_{\text{w,in}}=T_{\text{cond},2}-29,
\Delta T_2' = T_{\text{cond},2}-T_{\text{w,out},2}=T_{\text{cond},2}-31{,}4388.
A LMTD nova é
\Delta T_{\mathrm{lm},2}=\frac{\Delta T_1'-\Delta T_2'}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1'}{\Delta T_2'}\big)} =\frac{\Delta T_{\text{w},2}}{\ln\!\big(\dfrac{T_{\text{cond},2}-29}{T_{\text{cond},2}-31{,}4388}\big)}.
A equação do balanço é
Q_2=U A\cdot \Delta T_{\mathrm{lm},2} =U A\cdot \frac{\Delta T_{\text{w},2}}{\ln\!\big(\dfrac{T_{\text{cond},2}-29}{T_{\text{cond},2}-31{,}4388}\big)}.
Isolando o logaritmo:
\ln\!\big(\dfrac{T_{\text{cond},2}-29}{T_{\text{cond},2}-31{,}4388}\big) =\frac{U A\cdot \Delta T_{\text{w},2}}{Q_2}.
Substituo valores numéricos ( U A\approx 24\,500\\ \mathrm{W/K}, \Delta T_{\text{w},2}\approx 2{,}4388\\ \mathrm{K}, Q_2=102000\\ \mathrm{W}):
\ln\!\big(\dfrac{T_{\text{cond},2}-29}{T_{\text{cond},2}-31{,}4388}\big) \approx \frac{24\,500\cdot 2{,}4388}{102000}\approx 0{,}586.
Exponenciando:
\frac{T_{\text{cond},2}-29}{T_{\text{cond},2}-31{,}4388}\approx e^{0{,}586}\approx 1{,}796.
Isto é uma equação linear em T_{\text{cond},2}. Resolvo:
T_{\text{cond},2}-29 = 1{,}796\big(T_{\text{cond},2}-31{,}4388\big).
Desenvolvendo:
T_{\text{cond},2}-29 = 1{,}796\,T_{\text{cond},2} - 56{,}464.
Rearranjando:
27{,}464 = 0{,}796\,T_{\text{cond},2} \quad\Rightarrow\quad T_{\text{cond},2}=\frac{27{,}464}{0{,}796}\approx 34{,}50^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação física rápida (pra te dar confiança): a temperatura de condensação caiu de 40^\circ\mathrm{C} para cerca de 34{,}5^\circ\mathrm{C} porque, com metade do calor a rejeitar, a água aquece menos e, mantendo o mesmo trocador (mesmo U A), basta uma diferença menor entre o refrigerante e a água para transportar o calor reduzido. Tá tudo coerente.

Resposta

34{,}5^\circ\mathrm{C}

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