A população de coelhos em uma ilha é 176 animais, e tem crescimento líquido de 0,09 ano-1. Qual será o número de coelhos na ilha em 5, 10 e 20 anos? Utilize a equação de crescimento exponencial para calcular o número de coelhos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o crescimento da população de coelhos na ilha! A gente precisa descobrir quantos coelhos vão ter daqui a 5, 10 e 20 anos. Para isso, vamos usar a equação de crescimento exponencial, que ajuda a prever o crescimento de uma população quando ela cresce a uma taxa constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
- $ P(t) $ é a população no tempo $ t $.
- $ P_0 $ é a população inicial.
- $ r $ é a taxa de crescimento.
- $ t $ é o tempo.
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
Passo 3
Vamos identificar os valores que já conhecemos no problema:
- $ P_0 = 176 $ coelhos
- $ r = 0,09 $ ano
- Queremos encontrar $ P(t) $ para $ t = 5 $, $ t = 10 $ e $ t = 20 $ anos.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(t) $ para cada período de tempo usando a fórmula.
Para 5 anos ($ t = 5 $):
Primeiro, calculamos o expoente:
Então:
Para 10 anos ($ t = 10 $):
Calculando o expoente:
Então:
Para 20 anos ($ t = 20 $):
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
Após 5 anos, haverá aproximadamente 276 coelhos; após 10 anos, 432 coelhos; e após 20 anos, cerca de 1.063 coelhos na ilha.