A população de coelhos em uma ilha é 176 animais, e tem crescimento líquido de 0,09 ano-1. Qual será o número de coelhos na ilha em 5, 10 e 20 anos? Utilize a equação de crescimento exponencial para calcular o número de coelhos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o crescimento da população de coelhos na ilha! A gente precisa descobrir quantos coelhos vão ter daqui a 5, 10 e 20 anos. Para isso, vamos usar a equação de crescimento exponencial, que ajuda a prever o crescimento de uma população quando ela cresce a uma taxa constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do crescimento exponencial:
P(t) = P0 times e^rt
Onde:
  • $ P(t) $ é a população no tempo $ t $.
  • $ P_0 $ é a população inicial.
  • $ r $ é a taxa de crescimento.
  • $ t $ é o tempo.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.

Passo 3

Vamos identificar os valores que já conhecemos no problema:
  • $ P_0 = 176 $ coelhos
  • $ r = 0,09 $ ano P0 = 176
  • Queremos encontrar $ P(t) $ para $ t = 5 $, $ t = 10 $ e $ t = 20 $ anos.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(t) $ para cada período de tempo usando a fórmula.
Para 5 anos ($ t = 5 $):
P(t)
Primeiro, calculamos o expoente:
t = 5
Então:
P(5) = 176 times e^0,09 times 5
Para 10 anos ($ t = 10 $):
0,09 times 5 = 0,45
Calculando o expoente:
P(5) = 176 times e^0,45 approx 176 times 1,5683 approx 276 coelhos
Então:
t = 10
Para 20 anos ($ t = 20 $):
P(10) = 176 times e^0,09 times 10
Calculando o expoente:
0,09 times 10 = 0,9
Então:
P(10) = 176 times e^0,9 approx 176 times 2,4596 approx 432 coelhos

Resposta

Após 5 anos, haverá aproximadamente 276 coelhos; após 10 anos, 432 coelhos; e após 20 anos, cerca de 1.063 coelhos na ilha.

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