Q5.5 A process involving an ideal gas and in which the temperature changes at constant volume is carried out. For a fixed value of
, the mass of the gas is doubled. The process is repeated with the same initial mass and
is doubled. For which of these processes is
greater? Why?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O processo é feito com um gás ideal, a volume constante.
- A variação de temperatura fixa é
. - Temos duas situações que vamos comparar:
- Dobrar a massa do gás mantendo a mesma
. - Manter a massa inicial e dobrar
(ou seja, usar ).
- Dobrar a massa do gás mantendo a mesma
- A pergunta: em qual dessas duas situações a variação de entropia
é maior? Por quê?
Passo 2
Relembrando a definição útil de entropia para processos reversíveis: a variação de entropia é
onde
é o calor trocado reversivelmente e
a temperatura.
Em um processo a volume constante, o calor reversível trocado pelo gás é dado por
onde:
-
é o número de mols do gás ( , com massa e massa molar), -
é a capacidade térmica molar a volume constante (energia por mol e por variação de temperatura).
Portanto a variação finita de entropia, integrando de
a
, é
Aqui
é a temperatura inicial e
a final.
Passo 3
Aplicando isso à primeira situação (mesma
, massa dobrada).
- Para a massa original:
mols, , então - Se dobramos a massa, o número de mols dobra:
. Mantendo o mesmo ,
Ou seja, ao dobrar a massa a variação de entropia simplesmente dobra, porque entropia é uma grandeza extensiva (proporcional à quantidade de matéria) neste contexto.
Passo 4
Aplicando à segunda situação (mesma massa inicial,
dobrado).
- Mantendo
mols e usando , a temperatura final é . A variação de entropia é
Passo 5
Agora comparo as duas variações. Para tornar a comparação clara introduzo a razão adimensional
que é positiva se a temperatura aumenta. Então:
- Dobrar a massa dá
- Dobrar
dá
Comparo
com
. Considere a diferença
Calculo o numerador:
portanto
Para
o termo
é positivo, então a fração é maior que
, e portanto o logaritmo é positivo. Assim
Multiplicando por
conclui-se que
Se
(ou
) as duas variações são iguais (ambas zero).
Passo 6
Intuição e comentário prático (sem pular etapas): entropia é extensiva — dobrar a quantidade de gás dobra a capacidade térmica total
, e portanto dobra a troca de calor a cada incremento de temperatura, levando a uma ΔS duas vezes maior para o mesmo intervalo relativo de temperatura. Já dobrar a variação de temperatura aumenta a entropia de forma logarítmica em
(porque
envolve
), e a função log cresce mais devagar que a multiplicação por 2; por isso dobrar a massa é mais eficaz para aumentar
do que dobrar
(exceto no caso trivial
).
Para ver com aproximação para pequenos
:
, então
e a diferença é
, consistente com o resultado exato.
Resposta
A variação de entropia
é maior quando a massa do gás é dobrada (mantendo-se
fixo).