QUESTÃO 2.- Uma turbina a gás padrão-ar opera segundo um ciclo Brayton entre os limites de pressão de 14,7 \mathrm{psia} e 70 psia . A temperatura do ar na entrada do compressor é 60^{\circ} \mathrm{F} e na entrada da turbina 1500^{0} \mathrm{~F}. O ar entra no compressor a uma taxa de 50000 cfm (pés cúbicos por minuto). Calcule a potência de saída e a eficiência térmica do ciclo.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a potência de saída e a eficiência térmica de um ciclo Brayton ideal a partir das condições fornecidas. Informações dadas (vou listar tudo para não perder nada):
  • Limite de pressão baixo: p_1 = 14,7\\ \mathrm{psia}.
  • Limite de pressão alto: p_2 = 70\\ \mathrm{psia}.
  • Temperatura na entrada do compressor: T_1 = 60^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura na entrada da turbina: T_3 = 1500^\circ\mathrm{F}.
  • Vazão volumétrica de ar na entrada do compressor: \dot V = 50000\\ \mathrm{ft^3/min}.
  • Dados físicos padrão que usarei (valores típicos para ar em problemas desse tipo):
    • Razão de calores específicos: k = 1,4.
    • Calor específico a pressão constante aproximado: c_p = 0,24\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot^\circ R)}. (obs.: em unidades anglo-saxônicas 1^\circ\mathrm{F} e 1^\circ\mathrm{R} têm mesma escala de diferença, por isso o número vale tanto para ^\circ\mathrm{F} quanto para ^\circ\mathrm{R} nas diferenças de temperatura).
    • Constante específica do ar na forma conveniente: R = 53,35\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lbm\cdot^\circ R)}.
  • Conversões que vou usar:
    • 1\\ \mathrm{psi} = 144\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
    • 1^\circ\mathrm{R} = 1^\circ\mathrm{F} + 459,67.
    • 1\\ \mathrm{hp} = 2544,43\\ \mathrm{Btu/hr}.
    • 1\\ \mathrm{kW} = 3412,14\\ \mathrm{Btu/hr}.
Perguntas concretas a responder:
  1. Potência de saída do ciclo (potência líquida disponível).
  2. Eficiência térmica do ciclo ( \eta = \dfrac{\text{trabalho líquido}}{\text{calor fornecido}}í).

Passo 2

Calcular a vazão mássica de ar \dot m a partir da vazão volumétrica \dot V usando a equação do gás ideal:
\dot m = \frac{p_1 \dot V}{R T_1}.
Explico as variáveis:
  • \dot m é a massa de ar por minuto ( \mathrm{lbm/min}).
  • p_1 é a pressão absoluta na entrada (em \mathrm{lbf/ft^2}).
  • \dot V é a vazão volumétrica ( \mathrm{ft^3/min}).
  • R é a constante do gás por unidade de massa para o ar.
  • T_1 é a temperatura absoluta em Rankine.
Converto e substituo passo a passo:
p_1 = 14,7\\ \mathrm{psia} = 14,7\cdot 144 = 2116,8\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
T_1 = 60^\circ\mathrm{F} = 60 + 459,67 = 519,67^\circ\mathrm{R}.
\dot V = 50000\\ \mathrm{ft^3/min},\qquad R = 53,35\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lbm\cdot^\circ R)}.
Agora a conta:
\dot m = \frac{2116,8\cdot 50000}{53,35\cdot 519,67}.
Calculo intermediário do denominador:
53,35\cdot 519,67 = 27724,39.
E o numerador:
2116,8\cdot 50000 = 105840000.
Logo
\dot m = \frac{105840000}{27724,39} \approx 3817,9\\ \mathrm{lbm/min}.

Passo 3

Encontrar a relação de pressão (razão de pressão) do ciclo:
r_p = \frac{p_2}{p_1} = \frac{70}{14,7} \approx 4,7619.
Explico: em um Brayton ideal com compressão e expansão isotérmicas (na verdade isentrópicas), esse r_p determina o aumento/queda de temperatura nas etapas isentrópicas.
A relação para temperatura após compressão isentrópica é
T_2 = T_1\, r_p^{\frac{k-1}{k}}.
Aqui \frac{k-1}{k} = \frac{0,4}{1,4} \approx 0,285714.
Calculando:
T_2 = 519,67\cdot (4,7619)^{0,285714} \approx 519,67\cdot 1,5620 \approx 811,9^\circ\mathrm{R}.

Passo 4

Temperatura na entrada da turbina e temperatura após expansão isentrópica:
Converto T_3:
T_3 = 1500^\circ\mathrm{F} = 1500 + 459,67 = 1959,67^\circ\mathrm{R}.
A temperatura após a expansão isentrópica (saída da turbina) é
T_4 = T_3\, r_p^{-\frac{k-1}{k}} = T_3\, r_p^{-\;0,285714}.
Como já calculamos r_p^{0,285714}\approx 1,5620, então r_p^{-0,285714}\approx 1/1,5620 \approx 0,6403.
Portanto
T_4 = 1959,67\cdot 0,6403 \approx 1254,6^\circ\mathrm{R}.

Passo 5

Agora calculamos os trabalhos específicos (por unidade de massa) do compressor e da turbina. Uso a aproximação de calores específicos constantes.
Fórmulas:
w_c = c_p\,(T_2 - T_1),\qquad w_t = c_p\,(T_3 - T_4),
onde:
  • w_c é trabalho específico do compressor (energia fornecida por unidade de massa) em \mathrm{Btu/lbm}.
  • w_t é o trabalho específico produzido pela turbina em \mathrm{Btu/lbm}.
  • c_p = 0,24\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot^\circ R)}.
Calculemos as diferenças de temperatura:
T_2 - T_1 = 811,9 - 519,67 = 292,23^\circ\mathrm{R}.
T_3 - T_4 = 1959,67 - 1254,6 = 705,07^\circ\mathrm{R}.
Agora os trabalhos:
w_c = 0,24\cdot 292,23 \approx 70,14\\ \mathrm{Btu/lbm}.
w_t = 0,24\cdot 705,07 \approx 169,22\\ \mathrm{Btu/lbm}.

Passo 6

Trabalho líquido específico e potência total:
Trabalho líquido específico:
w_{net} = w_t - w_c = 169,22 - 70,14 = 99,08\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Potência (energia por tempo) na base da vazão mássica \dot m:
\dot W = \dot m \cdot w_{net}.
Usando \dot m = 3817,9\\ \mathrm{lbm/min} e w_{net}=99,08\\ \mathrm{Btu/lbm}:
\dot W = 3817,9\cdot 99,08 \approx 378285,2\\ \mathrm{Btu/min}.
Converto para \mathrm{Btu/hr} (multiplicando por 60):
\dot W = 378285,2\cdot 60 \approx 22697110\\ \mathrm{Btu/hr}.
Converto para potência prática:
  • Em cavalos-vapor (hp):
\dot W_{\mathrm{hp}} = \frac{22697110}{2544,43} \approx 8919,6\\ \mathrm{hp}.
  • Em quilowatts (kW), usando 1\\ \mathrm{kW}=3412,14\\ \mathrm{Btu/hr}:
\dot W_{\mathrm{kW}} = \frac{22697110}{3412,14} \approx 6655,3\\ \mathrm{kW}.
(Sugestão de leitura para a prova: é comum apresentar potência em hp ou kW; aqui eu dei ambos.)

Passo 7

Eficiência térmica do ciclo:
O calor adicionado por unidade de massa é o incremento entre a saída do compressor e a entrada da turbina a pressão constante:
q_{in} = c_p\,(T_3 - T_2).
Calculemos:
T_3 - T_2 = 1959,67 - 811,9 = 1147,77^\circ\mathrm{R}.
q_{in} = 0,24\cdot 1147,77 \approx 275,46\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Eficiência térmica:
\eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{99,08}{275,46} \approx 0,3596 \approx 35,96\%.
Interpretação curta: isso quer dizer que, idealmente, cerca de 36\% do calor fornecido foi convertido em trabalho líquido.

Passo 8

Resumo das hipóteses feitas (muito importante para a hora da prova):
  • Ciclo Brayton ideal (compressão e expansão isentrópicas).
  • Ar como gás perfeito com k=1,4 e c_p constante igual a 0,24\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot^\circ R)}.
  • Sem perdas mecânicas, sem calor rejeitado fora do ciclo ideal além do ciclo padrão.
    Essas hipóteses são as típicas em exercícios de curso; se a prova der eficiências isentrópicas ou cp variando, o método muda (mas a ideia de usar relações isentrópicas e energia por massa permanece).

Resposta

Potência líquida ≈ 8919,6\\ \mathrm{hp} (≈ 6655,3\\ \mathrm{kW}).
Eficiência térmica ≈ 35,96\%.

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