• 4.6-7: Dê uma “solução construtiva” do Exemplo 2 da Seção 4.1. Sua solução pode ser baseada no seguinte procedimento para atingir a temperatura máxima do corpo quente. Um motor termodinâmico é operado entre os dois corpos mais frios, extraindo trabalho até que os dois corpos mais frios atinjam uma temperatura comum. Este trabalho é então usado como entrada para uma bomba de calor, extraindo calor do par mais frio e aquecendo o corpo quente. Mostre que este procedimento leva ao mesmo resultado obtido no exemplo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (identificação clara do problema).
  • Pede uma solução construtiva do Exemplo 2 da Seção 4.1: mostrar que o procedimento descrito (usar um motor térmico entre os dois corpos mais frios para obter trabalho, e usar esse trabalho numa bomba de calor que aquece o corpo quente) leva ao mesmo resultado que o exemplo.
  • Dados relevantes (vamos nomear tudo explicitamente):
    • Três corpos com capacidades térmicas constantes: C_h (corpo inicialmente quente), C_1 e C_2 (os dois mais frios).
    • Temperaturas iniciais: \;T_h^0 (quente), \;T_1^0 e \;T_2^0 (os dois frios).
    • O procedimento:
      1. Operar um motor térmico reversível entre os corpos 1 e 2 até que ambos tenham uma temperatura comum (vamos chamar essa temperatura intermediária de T^*).
      2. Usar o trabalho extraído para alimentar uma bomba de calor reversível que extrai calor do par frio e aquece o corpo quente, até algum estado final.
  • Objetivo operacional: mostrar, passo a passo, que esse procedimento reversível atinge o mesmo resultado (mesmas equações que determinam a temperatura final do corpo quente) que o Exemplo 2 da Seção 4.1. Em outras palavras: identificar as equações que determinam a temperatura final do corpo quente e mostrar que elas coincidem com as obtidas no exemplo.

Passo 2

Por que escolher processos reversíveis e qual é a ideia física por trás do procedimento.
  • Intuição: para elevar ao máximo a temperatura do corpo quente usando apenas energia disponível nos dois corpos frios, precisamos extrair a maior quantidade possível de trabalho útil desses corpos frios. O máximo de trabalho que pode ser extraído de uma transformação térmica é conseguido por um processo reversível (princípio da termodinâmica: processos reversíveis maximizam trabalho útil). Portanto faz sentido escolher o motor entre 1 e 2 reversível (um motor de Carnot ideal) e escolher a bomba de calor também reversível (máxima eficiência para converter trabalho em calor útil no corpo quente).
  • Consequência prática: dois passos reversíveis sucessivos (motor reversível + bomba reversível) equivalem a um processo global reversível envolvendo os três corpos. Logo, as condições finais são aquelas impostas pelas leis da termodinâmica para um processo reversível fechado: conservação de energia (primeira lei) e conservação da entropia total (segunda lei, ΔS_total = 0). Essas duas condições serão suficientes para determinar as temperaturas finais.

Passo 3

Análise do estágio 1 (motor entre os dois corpos frios). cálculo da temperatura comum intermediária T^* e do trabalho extraído.
  • Considere operar um motor reversível (Carnot ideal) entre os dois corpos 1 e 2, extraindo trabalho até que ambos atinjam uma temperatura comum \;T^*.
  • Porque o motor é reversível, a transformação de 1+2 durante essa etapa é reversível e, portanto, conserva a entropia total do par: \; \Delta S_1 + \Delta S_2 = 0.
  • Com capacidades térmicas constantes, variações infinitesimais satisfazem \;dU_i = C_i\,dT_i e \;dS_i = C_i\,\dfrac{dT_i}{T_i}.
  • Integrando entre as temperaturas iniciais e a temperatura final comum \;T^*, a condição de conservação de entropia para 1 e 2 é: C_1\ln\!\left(\frac{T_1^0}{T^*}\right) + C_2\ln\!\left(\frac{T_2^0}{T^*}\right) = 0.Esta equação pode ser reorganizada para isolar T^*: \ln T^* = \frac{C_1\ln T_1^0 + C_2\ln T_2^0}{C_1 + C_2} \quad\Rightarrow\quad T^* = (T_1^0)^{\frac{C_1}{C_1+C_2}}(T_2^0)^{\frac{C_2}{C_1+C_2}}.Observação: isto é a média geométrica ponderada das temperaturas iniciais dos corpos 1 e 2.
  • O trabalho máximo extraído W na etapa 1 é igual à diminuição de energia interna do par 1+2 (pois toda energia perdida por 1+2 sai como trabalho, já que o motor é ideal e não há outras perdas): W \;=\; C_1\bigl(T_1^0 - T^*\bigr) + C_2\bigl(T_2^0 - T^*\bigr).(Explicação: conservação de energia para o par 1+2 durante etapa 1: energia perdida pelos corpos vai para o trabalho produzido; por isso a soma das quedas de energia interna é exatamente W.)

Passo 4

Análise do estágio 2 (bomba de calor alimentada pelo trabalho W). como modelar a bomba reversível.
  • Usamos todo o trabalho W (obtido no passo anterior) para acionar uma bomba de calor reversível que extrai calor dos corpos frios e fornece calor ao corpo quente.
  • Para maximizar o aquecimento do corpo quente (obter a maior temperatura possível), a bomba também deve operar reversivelmente. Uma bomba reversível transfere calor de uma fonte fria a uma quente com o menor trabalho possível para uma dada quantidade de aquecimento, ou dito de outra forma, dada uma energia de trabalho disponível, ela maximiza o calor entregue ao quente mantendo a reversibilidade (mínima produção de entropia, aqui zero).
  • Durante a operação da bomba, os corpos 1 e 2 ficarão ligados termicamente (podemos mantê-los em contato, de modo que eles permaneçam à mesma temperatura durante a extração de calor), formando efetivamente um único reservatório frio com capacidade C_1 + C_2. À medida que a bomba retira calor desse reservatório combinado, sua temperatura baixa de T^* para algum valor final T_f. O corpo quente sobe de \;T_h^0 para \;T_{h,f}.
  • Como a bomba é reversível, a transformação global na segunda etapa também é reversível: a entropia cedida pelo reservatório frio é igual à entropia ganha pelo corpo quente. Contudo lembramos que já havíamos conservado entropia na etapa 1 para o par 1+2; agora a etapa 2 altera as entropias desses corpos (diminui a dos frios, aumenta a do quente) mas, sendo reversível, a entropia total da transformação 1+2+quente permanece zero ao longo de todo o processo (soma das entropias inicial = soma final).
  • Em resumo: as duas etapas juntas formam um processo global reversível envolvendo os três corpos, portanto as condições finais devem satisfazer simultaneamente conservação de energia total e conservação de entropia total.

Passo 5

Escrever as equações de conservação de energia e de entropia para o processo global (as equações que determinam a temperatura final do corpo quente).
  • Conservação de energia (primeira lei) para todo o sistema fechado (três corpos): a energia interna total inicial é igual à final: C_h T_h^0 + C_1 T_1^0 + C_2 T_2^0 \;=\; C_h T_{h,f} + C_1 T_{1,f} + C_2 T_{2,f}.Pelo modo como operamos a bomba (mantendo 1 e 2 em contato térmico durante a extração), podemos tomar T_{1,f} = T_{2,f} = T_f. Assim: C_h T_h^0 + C_1 T_1^0 + C_2 T_2^0 \;=\; C_h T_{h,f} + (C_1 + C_2) T_f.
  • Conservação de entropia (processo global reversível, ΔS_total = 0): C_h \ln T_h^0 + C_1 \ln T_1^0 + C_2 \ln T_2^0 \;=\; C_h \ln T_{h,f} + C_1 \ln T_f + C_2 \ln T_f.Novamente agrupando termos de 1 e 2: C_h \ln T_h^0 + C_1 \ln T_1^0 + C_2 \ln T_2^0 \;=\; C_h \ln T_{h,f} + (C_1 + C_2) \ln T_f.
  • Estas duas equações (energia e entropia) formam um sistema de duas equações para as duas incógnitas finais T_{h,f} e T_f. Notar que essas equações são exatamente as equações que surgem quando se pede um resultado máximo permitido pela segunda lei (Exemplo 2 da Seção 4.1, que também usava a condição ΔS_total ≥ 0 e conservação de energia). Portanto o procedimento construtivo reversível conduz às mesmas equações restritivas do exemplo.

Passo 6

Resolver o sistema (eliminar T_f e obter a relação que determina T_{h,f}); interpretar o resultado.
  • Da equação de entropia, isolamos \ln T_f: (C_1 + C_2)\ln T_f \;=\; C_1\ln T_1^0 + C_2\ln T_2^0 + C_h\ln T_h^0 - C_h\ln T_{h,f}.Definindo a temperatura geométrica ponderada dos frios T_c \equiv (T_1^0)^{\frac{C_1}{C_1+C_2}}(T_2^0)^{\frac{C_2}{C_1+C_2}},podemos reescrever a expressão para T_f de forma clara: \ln T_f = \ln T_c + \frac{C_h}{C_1 + C_2}\bigl(\ln T_h^0 - \ln T_{h,f}\bigr),o que dá, exponenciando, T_f \;=\; T_c\left(\frac{T_h^0}{T_{h,f}}\right)^{\frac{C_h}{C_1 + C_2}}.(Comentário didático: essa expressão mostra que, se o corpo quente subir muito de temperatura, o reservatório frio deverá baixar de temperatura de modo que a entropia total permaneça constante.)
  • Agora substituímos T_f na equação de energia: C_h T_h^0 + C_1 T_1^0 + C_2 T_2^0 \;=\; C_h T_{h,f} + (C_1 + C_2)\,T_c\left(\frac{T_h^0}{T_{h,f}}\right)^{\frac{C_h}{C_1 + C_2}}.Esta equação determina implicitamente T_{h,f}. É exatamente a equação que aparece no tratamento termo-estático reversível (Exemplo 2 da Seção 4.1): conservação de energia e entropia combinadas. Não há necessidade de mais suposições — a solução T_{h,f} dessa equação é a máxima temperatura que o corpo quente pode atingir usando somente as energias internas iniciais dos três corpos e sem violar a segunda lei.
  • Observações adicionais e interpretação:
    • Se quisermos, podemos reescrever a equação como C_h T_{h,f} + (C_1 + C_2)\,T_c\left(\frac{T_h^0}{T_{h,f}}\right)^{\frac{C_h}{C_1 + C_2}} \;=\; C_h T_h^0 + C_1 T_1^0 + C_2 T_2^0,que é uma forma conveniente para achar numericamente T_{h,f}.
    • O procedimento construtivo (motor reversível entre os frios seguido de bomba reversível para o quente) é apenas uma construção física que realiza um processo global reversível sobre os três corpos. Por isso o resultado coincide com o do Exemplo 2, que foi obtido impondo diretamente as duas condições termodinâmicas (energia e entropia).
    • Caso em que C_h \ll C_1 + C_2 a expressão tende a simplificar: a potência do fator \dfrac{C_h}{C_1+C_2} fica pequena e o aquecimento do corpo quente pode ser significativamente maior; o limite contrário também se interpreta fisicamente. (Isso é só um comentário físico, não altera as equações fundamentais acima.)

Resposta

T^* = (T_1^0)^{\frac{C_1}{C_1+C_2}}(T_2^0)^{\frac{C_2}{C_1+C_2}}
\text{o temperatura final }T_{h,f}\text{ é a solução da equação}éçãçã
C_h T_h^0 + C_1 T_1^0 + C_2 T_2^0 \;=\; C_h T_{h,f} + (C_1 + C_2)\,T^*\left(\frac{T_h^0}{T_{h,f}}\right)^{\frac{C_h}{C_1 + C_2}}

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