- 4.6-7: Dê uma “solução construtiva” do Exemplo 2 da Seção 4.1. Sua solução pode ser baseada no seguinte procedimento para atingir a temperatura máxima do corpo quente. Um motor termodinâmico é operado entre os dois corpos mais frios, extraindo trabalho até que os dois corpos mais frios atinjam uma temperatura comum. Este trabalho é então usado como entrada para uma bomba de calor, extraindo calor do par mais frio e aquecendo o corpo quente. Mostre que este procedimento leva ao mesmo resultado obtido no exemplo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (identificação clara do problema).
- Pede uma solução construtiva do Exemplo 2 da Seção 4.1: mostrar que o procedimento descrito (usar um motor térmico entre os dois corpos mais frios para obter trabalho, e usar esse trabalho numa bomba de calor que aquece o corpo quente) leva ao mesmo resultado que o exemplo.
- Dados relevantes (vamos nomear tudo explicitamente):
- Três corpos com capacidades térmicas constantes:
(corpo inicialmente quente), e (os dois mais frios). - Temperaturas iniciais:
(quente), e (os dois frios). - O procedimento:
- Operar um motor térmico reversível entre os corpos 1 e 2 até que ambos tenham uma temperatura comum (vamos chamar essa temperatura intermediária de
). - Usar o trabalho extraído para alimentar uma bomba de calor reversível que extrai calor do par frio e aquece o corpo quente, até algum estado final.
- Operar um motor térmico reversível entre os corpos 1 e 2 até que ambos tenham uma temperatura comum (vamos chamar essa temperatura intermediária de
- Três corpos com capacidades térmicas constantes:
- Objetivo operacional: mostrar, passo a passo, que esse procedimento reversível atinge o mesmo resultado (mesmas equações que determinam a temperatura final do corpo quente) que o Exemplo 2 da Seção 4.1. Em outras palavras: identificar as equações que determinam a temperatura final do corpo quente e mostrar que elas coincidem com as obtidas no exemplo.
Passo 2
Por que escolher processos reversíveis e qual é a ideia física por trás do procedimento.
- Intuição: para elevar ao máximo a temperatura do corpo quente usando apenas energia disponível nos dois corpos frios, precisamos extrair a maior quantidade possível de trabalho útil desses corpos frios. O máximo de trabalho que pode ser extraído de uma transformação térmica é conseguido por um processo reversível (princípio da termodinâmica: processos reversíveis maximizam trabalho útil). Portanto faz sentido escolher o motor entre 1 e 2 reversível (um motor de Carnot ideal) e escolher a bomba de calor também reversível (máxima eficiência para converter trabalho em calor útil no corpo quente).
- Consequência prática: dois passos reversíveis sucessivos (motor reversível + bomba reversível) equivalem a um processo global reversível envolvendo os três corpos. Logo, as condições finais são aquelas impostas pelas leis da termodinâmica para um processo reversível fechado: conservação de energia (primeira lei) e conservação da entropia total (segunda lei, ΔS_total = 0). Essas duas condições serão suficientes para determinar as temperaturas finais.
Passo 3
Análise do estágio 1 (motor entre os dois corpos frios). cálculo da temperatura comum intermediária
e do trabalho extraído.
- Considere operar um motor reversível (Carnot ideal) entre os dois corpos 1 e 2, extraindo trabalho até que ambos atinjam uma temperatura comum
. - Porque o motor é reversível, a transformação de 1+2 durante essa etapa é reversível e, portanto, conserva a entropia total do par:
- Com capacidades térmicas constantes, variações infinitesimais satisfazem
e . - Integrando entre as temperaturas iniciais e a temperatura final comum
, a condição de conservação de entropia para 1 e 2 é: Esta equação pode ser reorganizada para isolar : Observação: isto é a média geométrica ponderada das temperaturas iniciais dos corpos 1 e 2. - O trabalho máximo extraído
na etapa 1 é igual à diminuição de energia interna do par 1+2 (pois toda energia perdida por 1+2 sai como trabalho, já que o motor é ideal e não há outras perdas): (Explicação: conservação de energia para o par 1+2 durante etapa 1: energia perdida pelos corpos vai para o trabalho produzido; por isso a soma das quedas de energia interna é exatamente .)
Passo 4
Análise do estágio 2 (bomba de calor alimentada pelo trabalho
). como modelar a bomba reversível.
- Usamos todo o trabalho
(obtido no passo anterior) para acionar uma bomba de calor reversível que extrai calor dos corpos frios e fornece calor ao corpo quente. - Para maximizar o aquecimento do corpo quente (obter a maior temperatura possível), a bomba também deve operar reversivelmente. Uma bomba reversível transfere calor de uma fonte fria a uma quente com o menor trabalho possível para uma dada quantidade de aquecimento, ou dito de outra forma, dada uma energia de trabalho disponível, ela maximiza o calor entregue ao quente mantendo a reversibilidade (mínima produção de entropia, aqui zero).
- Durante a operação da bomba, os corpos 1 e 2 ficarão ligados termicamente (podemos mantê-los em contato, de modo que eles permaneçam à mesma temperatura durante a extração de calor), formando efetivamente um único reservatório frio com capacidade
. À medida que a bomba retira calor desse reservatório combinado, sua temperatura baixa de para algum valor final . O corpo quente sobe de para . - Como a bomba é reversível, a transformação global na segunda etapa também é reversível: a entropia cedida pelo reservatório frio é igual à entropia ganha pelo corpo quente. Contudo lembramos que já havíamos conservado entropia na etapa 1 para o par 1+2; agora a etapa 2 altera as entropias desses corpos (diminui a dos frios, aumenta a do quente) mas, sendo reversível, a entropia total da transformação 1+2+quente permanece zero ao longo de todo o processo (soma das entropias inicial = soma final).
- Em resumo: as duas etapas juntas formam um processo global reversível envolvendo os três corpos, portanto as condições finais devem satisfazer simultaneamente conservação de energia total e conservação de entropia total.
Passo 5
Escrever as equações de conservação de energia e de entropia para o processo global (as equações que determinam a temperatura final do corpo quente).
- Conservação de energia (primeira lei) para todo o sistema fechado (três corpos): a energia interna total inicial é igual à final:
Pelo modo como operamos a bomba (mantendo 1 e 2 em contato térmico durante a extração), podemos tomar . Assim: - Conservação de entropia (processo global reversível, ΔS_total = 0):
Novamente agrupando termos de 1 e 2: - Estas duas equações (energia e entropia) formam um sistema de duas equações para as duas incógnitas finais
e . Notar que essas equações são exatamente as equações que surgem quando se pede um resultado máximo permitido pela segunda lei (Exemplo 2 da Seção 4.1, que também usava a condição ΔS_total ≥ 0 e conservação de energia). Portanto o procedimento construtivo reversível conduz às mesmas equações restritivas do exemplo.
Passo 6
Resolver o sistema (eliminar
e obter a relação que determina
); interpretar o resultado.
- Da equação de entropia, isolamos
: Definindo a temperatura geométrica ponderada dos frios podemos reescrever a expressão para de forma clara: o que dá, exponenciando, (Comentário didático: essa expressão mostra que, se o corpo quente subir muito de temperatura, o reservatório frio deverá baixar de temperatura de modo que a entropia total permaneça constante.) - Agora substituímos
na equação de energia: Esta equação determina implicitamente . É exatamente a equação que aparece no tratamento termo-estático reversível (Exemplo 2 da Seção 4.1): conservação de energia e entropia combinadas. Não há necessidade de mais suposições — a solução dessa equação é a máxima temperatura que o corpo quente pode atingir usando somente as energias internas iniciais dos três corpos e sem violar a segunda lei. - Observações adicionais e interpretação:
- Se quisermos, podemos reescrever a equação como
que é uma forma conveniente para achar numericamente . - O procedimento construtivo (motor reversível entre os frios seguido de bomba reversível para o quente) é apenas uma construção física que realiza um processo global reversível sobre os três corpos. Por isso o resultado coincide com o do Exemplo 2, que foi obtido impondo diretamente as duas condições termodinâmicas (energia e entropia).
- Caso em que
a expressão tende a simplificar: a potência do fator fica pequena e o aquecimento do corpo quente pode ser significativamente maior; o limite contrário também se interpreta fisicamente. (Isso é só um comentário físico, não altera as equações fundamentais acima.)
- Se quisermos, podemos reescrever a equação como