Um tanque rígido e termicamente isolado, utilizado como volume de controle em um processo industrial, contém dióxido de carbono inicialmente em equilíbrio termodinâmico. Uma roda de pás acoplada a um motor elétrico fornece trabalho ao gás, elevando sua pressão interna de 90 kPa para 135 kPa . Durante todo o processo, o volume do tanque permanece constante e não há troca de calor com o meio externo. Admitindo o dióxido de carbono como gás ideal com calores específicos constantes, determine a variação total de entropia do gás no tanque.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - O tanque é rígido: o volume total do gás é constante (
constante). - Termicamente isolado: não há troca de calor com o meio externo (
). - Trabalho é fornecido por uma roda de pás (trabalho dissipativo ao gás), processo irreversível, mas no final o gás está em um novo equilíbrio.
- O gás é dióxido de carbono tratado como gás ideal com calores específicos constantes.
O enunciado pede: determinar a variação total de entropia do gás no tanque entre os estados inicial e final.
Passo 2
Ideia-chave (intuição física e matemática que vamos usar):
- Mesmo que o processo seja irreversível, a variação de entropia entre dois estados de equilíbrio de um sistema depende apenas desses estados (entropia é função de estado). Logo podemos relacionar
usando variáveis de estado inicial e final. - Para um gás ideal com calores específicos constantes existe uma expressão conveniente para a diferença de entropia que envolve temperatura e volume (ou temperatura e pressão). Vamos derivar essa relação e aplicá-la ao caso
constante.
Passo 3
Derivação da relação fundamental para um gás ideal (passo a passo, sem pular):
- Começamos da forma de Gibbs (primeira e segunda leis combinadas) para uma unidade de massa (ou por mol, o raciocínio é idêntico):
onde:
-
é a temperatura absoluta, -
é a entropia específica (entropia por unidade de massa), -
é a energia interna específica, -
é a pressão, -
é o volume específico (volume por unidade de massa). -
Para um gás ideal com calores específicos constantes vale:
onde
é o calor específico a volume constante (unidade:
se for por massa). Aqui explico:
diz quanto a energia interna por massa muda quando a temperatura muda, mantendo volume fixo.
- Substituindo em Gibbs:
- Para o gás ideal temos a equação de estado (por unidade de massa):
onde
é a constante específica do gás (por massa). A partir daí, podemos reescrever
e obter:
- Dividindo a expressão de Gibbs por
e usando :
Essa é uma relação importante: ela diz como a entropia específica muda em termos de variações de
e
.
Passo 4
Aplicação da relação ao caso do tanque rígido (
constante):
- Como o tanque é rígido, o volume específico não muda:
. Então a segunda parcela some e ficamos com
- Integrando entre os estados 1 e 2:
Aqui
é a variação de entropia específica (por unidade de massa). Para a variação total de entropia do gás no tanque (denotada
) multiplicamos pela massa total
do gás:
Explicando as variáveis:
-
é a variação total de entropia do gás (J/K). -
é a massa do gás no tanque (kg). -
é o calor específico a volume constante (J/(kg·K)). -
são temperaturas absolutas nos estados inicial e final (K).
Passo 5
Relacionar temperaturas com pressões (porque as pressões foram dadas, não as temperaturas):
- Como o volume e a massa são constantes, da equação do gás ideal segue:
Motivo:
e, com
fixo e
constante,
é proporcional a
.
- Portanto substituímos na expressão de
:
- Agora usamos os valores numéricos das pressões fornecidas:
Logo a expressão final fica
-
Observações finais de interpretação física:
-
, logo : a entropia do gás aumentou. Isso faz sentido físico porque o trabalho de cisalhamento da roda de pás gera dissipação interna e aumenta a entropia, mesmo sem troca de calor com o entorno. - Se preferir a variação de entropia por unidade de massa (específica):
. - Se quiser a expressão em termos de número de mols
e calor molar : .
-
-
Atenção prática: para obter um valor numérico para
é necessário conhecer a massa do CO no tanque e o valor numérico de (ou o número de mols e ). O enunciado não fornece esses números, por isso a resposta fica em forma analítica.