Um tanque rígido e termicamente isolado, utilizado como volume de controle em um processo industrial, contém dióxido de carbono inicialmente em equilíbrio termodinâmico. Uma roda de pás acoplada a um motor elétrico fornece trabalho ao gás, elevando sua pressão interna de 90 kPa para 135 kPa . Durante todo o processo, o volume do tanque permanece constante e não há troca de calor com o meio externo. Admitindo o dióxido de carbono como gás ideal com calores específicos constantes, determine a variação total de entropia do gás no tanque.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Pressão inicial: \,p_1 = 90\\ \text{kPa}.
  • Pressão final: \,p_2 = 135\\ \text{kPa}.
  • O tanque é rígido: o volume total do gás é constante ( V= constante).
  • Termicamente isolado: não há troca de calor com o meio externo ( Q=0).
  • Trabalho é fornecido por uma roda de pás (trabalho dissipativo ao gás), processo irreversível, mas no final o gás está em um novo equilíbrio.
  • O gás é dióxido de carbono tratado como gás ideal com calores específicos constantes.
O enunciado pede: determinar a variação total de entropia do gás no tanque entre os estados inicial e final.

Passo 2

Ideia-chave (intuição física e matemática que vamos usar):
  • Mesmo que o processo seja irreversível, a variação de entropia entre dois estados de equilíbrio de um sistema depende apenas desses estados (entropia é função de estado). Logo podemos relacionar \Delta S usando variáveis de estado inicial e final.
  • Para um gás ideal com calores específicos constantes existe uma expressão conveniente para a diferença de entropia que envolve temperatura e volume (ou temperatura e pressão). Vamos derivar essa relação e aplicá-la ao caso V= constante.

Passo 3

Derivação da relação fundamental para um gás ideal (passo a passo, sem pular):
  • Começamos da forma de Gibbs (primeira e segunda leis combinadas) para uma unidade de massa (ou por mol, o raciocínio é idêntico):
T\,\mathrm{d}s = \mathrm{d}u + p\,\mathrm{d}v,
onde:
  • \,T é a temperatura absoluta,
  • \,s é a entropia específica (entropia por unidade de massa),
  • \,u é a energia interna específica,
  • \,p é a pressão,
  • \,v é o volume específico (volume por unidade de massa).
  • Para um gás ideal com calores específicos constantes vale:
\mathrm{d}u = c_v\,\mathrm{d}T,
onde \,c_v é o calor específico a volume constante (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)} se for por massa). Aqui explico: \,c_v diz quanto a energia interna por massa muda quando a temperatura muda, mantendo volume fixo.
  • Substituindo em Gibbs:
T\,\mathrm{d}s = c_v\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}v.
  • Para o gás ideal temos a equação de estado (por unidade de massa):
p v = R T,
onde \,R é a constante específica do gás (por massa). A partir daí, podemos reescrever p = \dfrac{R T}{v} e obter:
p\,\mathrm{d}v = \frac{R T}{v}\,\mathrm{d}v.
  • Dividindo a expressão de Gibbs por T e usando \mathrm{d}u:
\mathrm{d}s = c_v\frac{\mathrm{d}T}{T} + \frac{R}{v}\,\mathrm{d}v.
Essa é uma relação importante: ela diz como a entropia específica muda em termos de variações de T e v.

Passo 4

Aplicação da relação ao caso do tanque rígido ( v= constante):
  • Como o tanque é rígido, o volume específico não muda: \mathrm{d}v = 0. Então a segunda parcela some e ficamos com
\mathrm{d}s = c_v\frac{\mathrm{d}T}{T}.
  • Integrando entre os estados 1 e 2:
\Delta s \equiv s_2 - s_1 = c_v \int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T} = c_v \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aqui \Delta s é a variação de entropia específica (por unidade de massa). Para a variação total de entropia do gás no tanque (denotada \Delta S) multiplicamos pela massa total m do gás:
\Delta S = m\,\Delta s = m\,c_v \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explicando as variáveis:
  • \Delta S é a variação total de entropia do gás (J/K).
  • m é a massa do gás no tanque (kg).
  • c_v é o calor específico a volume constante (J/(kg·K)).
  • T_1,T_2 são temperaturas absolutas nos estados inicial e final (K).

Passo 5

Relacionar temperaturas com pressões (porque as pressões foram dadas, não as temperaturas):
  • Como o volume e a massa são constantes, da equação do gás ideal segue:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1}.
Motivo: p v = R T e, com v fixo e R constante, T é proporcional a p.
  • Portanto substituímos na expressão de \Delta S:
\Delta S = m\,c_v \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
  • Agora usamos os valores numéricos das pressões fornecidas:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{135\\ \text{kPa}}{90\\ \text{kPa}}=1{,}5.
Logo a expressão final fica
\Delta S = m\,c_v \ln(1{,}5).
  • Observações finais de interpretação física:
    • \ln(1{,}5)>0, logo \Delta S>0: a entropia do gás aumentou. Isso faz sentido físico porque o trabalho de cisalhamento da roda de pás gera dissipação interna e aumenta a entropia, mesmo sem troca de calor com o entorno.
    • Se preferir a variação de entropia por unidade de massa (específica): \Delta s = c_v \ln(1{,}5).
    • Se quiser a expressão em termos de número de mols n e calor molar \bar{C}_v: \Delta S = n\,\bar{C}_v \ln(1{,}5).
  • Atenção prática: para obter um valor numérico para \Delta S é necessário conhecer a massa m do CO _2 no tanque e o valor numérico de c_v (ou o número de mols e \bar{C}_v). O enunciado não fornece esses números, por isso a resposta fica em forma analítica.

Resposta

\displaystyle \Delta S = m\,c_v \ln(1{,}5)