9.100 Um compressor com dois estágios adiabáticos e reversíveis, intercalados por um resfriador intermediário que opera a pressão constante, é alimentado com ar na condição atmosférica ( 20^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa ). A pressão de saída do segundo estágio é 1,2 \mathrm{MPa}. Admitindo que a temperatura de saída do ar do resfriador seja sempre igual a 50{ }^{\circ} \mathrm{C}, analise o trabalho necessário para operar o equipamento em função da pressão intermediária.

Passo 1

O enunciado trata de um compressor bifásico com dois estágios adiabáticos e reversíveis (isentrópicos), com refrigeração intersticial a pressão constante. O ar entra à temperatura ambiente \,20^\circ\mathrm{C}=293\:\mathrm{K} e pressão P_1=100\:\mathrm{kPa} e sai do segundo estágio a P_2=1{,}2\:\mathrm{MPa}. A cada estágio usa-se intercooler que resfria o ar até 50^\circ\mathrm{C}=323\:\mathrm{K}. Queremos achar o trabalho específico total W_{\rm tot} em função da pressão intermediária P_i e, em particular, o valor de P_i que minimiza W_{\rm tot}.

Passo 2

Para uma compressão adiabática e reversível de ar (gas ideal), o trabalho específico é
W = c_p\bigl(T_{\rm out}-T_{\rm in}\bigr)
onde a temperatura de saída isentrópica obedece
T_{\rm out} = T_{\rm in}\,\Bigl(\frac{P_{\rm out}}{P_{\rm in}}\Bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}
com k=1{,}4 e c_p\approx1{,}005\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 3

No primeiro estágio temos entrada (T_1,P_1) e saída isentrópica \bigl(T_2,P_i\bigr), onde
T_2 = T_1\Bigl(\frac{P_i}{P_1}\Bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}.
Após o intercooler volta-se a T_3=323\:\mathrm{K} mas a pressão permanece P_i. No segundo estágio comprime-se de \bigl(T_3,P_i\bigr) até \bigl(T_4,P_2\bigr), com
T_4 = T_3\Bigl(\frac{P_2}{P_i}\Bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}.

Passo 4

O trabalho específico em cada estágio é
W_1 = c_p\bigl(T_2 - T_1\bigr) \quad\text{e}\quad W_2 = c_p\bigl(T_4 - T_3\bigr),
logo o trabalho total por quilograma de ar é
W_{\rm tot}(P_i) = c_p\Bigl[T_1\Bigl(\Bigl(\tfrac{P_i}{P_1}\Bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}-1\Bigr) +T_3\Bigl(\Bigl(\tfrac{P_2}{P_i}\Bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}-1\Bigr)\Bigr].

Passo 5

Para minimizar W_{\rm tot}(P_i) derivamos em relação a P_i e igualamos a zero. Após manipulação algébrica obtém-se a condição de ótimo
P_i^2 = P_1\,P_2\, \Bigl(\frac{T_3}{T_1}\Bigr)^{\!\frac{k}{k-1}}.

Passo 6

Substituindo P_1=0{,}1\:\mathrm{MPa}, P_2=1{,}2\:\mathrm{MPa}, T_1=293\:\mathrm{K}, T_3=323\:\mathrm{K} e k=1{,}4, temos
\Bigl(\tfrac{T_3}{T_1}\Bigr)^{\!\frac{k}{k-1}} =\Bigl(\tfrac{323}{293}\Bigr)^{3{,}5}\approx1{,}405 \quad\Longrightarrow\quad P_i^2\approx0{,}1\times1{,}2\times1{,}405=0{,}1686
\therefore P_i^* \approx\sqrt{0{,}1686}\approx0{,}41\:\mathrm{MPa}.

Resposta

O trabalho específico total em função de P_i é
W_{\rm tot}(P_i) = c_p\Bigl[T_1\Bigl(\bigl(\tfrac{P_i}{P_1}\bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}-1\Bigr) +T_3\Bigl(\bigl(\tfrac{P_2}{P_i}\bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}-1\Bigr)\Bigr].
O valor de P_i que minimiza W_{\rm tot} é
P_i^* = \sqrt{P_1\,P_2\,\Bigl(\tfrac{T_3}{T_1}\Bigr)^{\!\frac{k}{k-1}}} \approx0{,}41\:\mathrm{MPa}.