5.1 Um cilindro horizontal termicamente isolado, fechado em ambas as extremidades, está equipado com um pistão condutor de calor e sem atrito, o qual divide o volume em duas partes desiguais. Inicialmente o pistão está imobilizado, de maneira que o volume à sua esquerda é V_{0} e o volume à sua direita é 3 V_{0}. O volume da esquerda contém um gás perfeito monoatômico à temperatura \[
theta_{0}\) e à pressão 2 P_{0}. O volume da direita contém o mesmo gás à temperatura \[
theta_{0}\) e à pressão P_{0}. O pistão é então liberado.
(a) Quais são a temperatura e a pressão finais em cada um dos lados?
(b) Quais são os volumes finais?
(c) Descreva os processos que levam o pistão ao repouso. Eles são processos quase-estáticos?]

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro termicamente isolado, dividido por um pistão sem atrito mas condutor de calor, com volumes iniciais V_L=V_0 e V_R=3V_0. À esquerda há um gás monoatômico ideal na temperatura \theta_0 e pressão 2P_0; à direita o mesmo gás em \theta_0 e pressão P_0. Solicitam (a) as temperaturas e pressões finais em cada lado, (b) os volumes finais e (c) descrição do processo e se é quase-estático. Para resolver vamos usar: lei dos gases ideais, conservação de energia interna do sistema isolado e condições de equilíbrio mecânico e térmico no final.

Passo 2

Calcular o número de mols em cada compartimento inicialmente, usando
n = \frac{P\,V}{R\,\theta_0}.
Então
n_L=\frac{2P_0\,V_0}{R\,\theta_0}, \qquad n_R=\frac{P_0\,(3V_0)}{R\,\theta_0}=\frac{3P_0\,V_0}{R\,\theta_0},
e o total é
n_{\rm tot}=n_L+n_R=\frac{5P_0\,V_0}{R\,\theta_0}.

Passo 3

No equilíbrio final há mesma pressão P_f e mesma temperatura \theta_f dos dois lados, e o volume total é constante, V_{Lf}+V_{Rf}=4V_0. Pela lei dos gases ideais em cada lado:
P_f\,V_{Lf}=n_L\,R\,\theta_f, \qquad P_f\,V_{Rf}=n_R\,R\,\theta_f.
Somando as duas equações e usando n_{\rm tot} e V_{Lf}+V_{Rf}=4V_0
P_f\,(4V_0)=n_{\rm tot}\,R\,\theta_f \quad\Longrightarrow\quad P_f\,4V_0=\frac{5P_0\,V_0}{R\,\theta_0}\,R\,\theta_f \quad\Longrightarrow\quad \frac{\theta_f}{P_f}=\frac{4\,\theta_0}{5\,P_0}.

Passo 4

Como o cilindro inteiro é termicamente isolado e não há trabalho externo, a energia interna total se conserva. Para gás monoatômico U=n\,C_V\,\theta, de modo que
n_{\rm tot}\,C_V\,\theta_0 = n_{\rm tot}\,C_V\,\theta_f \quad\Longrightarrow\quad \theta_f=\theta_0.

Passo 5

Substituindo \theta_f=\theta_0 na relação do Passo 3, vem
\frac{\theta_0}{P_f}=\frac{4\,\theta_0}{5\,P_0} \quad\Longrightarrow\quad P_f=\frac{5}{4}\,P_0.
Então os volumes finais são
V_{Lf}=\frac{n_L\,R\,\theta_0}{P_f} =\frac{2P_0\,V_0}{R\,\theta_0}\cdot\frac{R\,\theta_0}{\tfrac{5}{4}P_0} =\frac{8}{5}\,V_0,
V_{Rf}=4V_0-V_{Lf} =4V_0-\frac{8}{5}V_0 =\frac{12}{5}\,V_0.

Passo 6

Ao soltar o pistão ele acelera porque 2P_0> P_0, faz trabalho de um lado sobre o outro e oscila em torno do ponto de equilíbrio mecânico. Como o pistão conduz calor, parte da energia cinética das oscilações vai se dissipando internamente até que a temperatura se iguale e as oscilações parem. É um processo dinâmico e irreversível, não quase-estático.

Resposta

(a) \theta_f=\theta_0 e P_f=\tfrac{5}{4}P_0 em ambos os lados.
(b) V_{Lf}=\tfrac{8}{5}V_0 e V_{Rf}=\tfrac{12}{5}V_0.
(c) O pistão parte do desbalanceamento de pressões, oscila e vai sendo amortecido pela condução de calor até atingir equilíbrio mecânico e térmico; não é quase-estático.