Desenvolva equações que possam ser resolvidas para fornecer a temperatura final do gás que permanece no interior do tanque após o seu esvaziamento parcial, de uma pressão inicial P_{1} até uma pressão final P_{2}. As grandezas conhecidas são: a temperatura inicial, o volume do tanque, a capacidade calorífica do gás, a capacidade calorífica total do material do tanque, P_{1} e P_{2}. Considere que o tanque esteja sempre com a temperatura igual à do gás que permanece em seu interior e que ele esteja perfeitamente isolado.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um tanque rígido de volume V, contendo inicialmente massa de gás m_{1} à pressão P_{1} e temperatura T_{1}. Parte desse gás é escoada até que, no final, a pressão cai para P_{2} e a temperatura passa a ser T_{2}. O tanque e o gás permanecem sempre à mesma temperatura e não há troca de calor com o exterior (adiabático). As quantidades conhecidas são
  • T_{1} (temperatura inicial),
  • V (volume do tanque),
  • C_{p} e C_{v} (capacidades caloríficas molares do gás),
  • C_{\text{tanque}} (capacidade calorífica total do material do tanque),
  • P_{1} e P_{2}.
O objetivo é obter uma equação que permita calcular T_{2}. Vamos usar balanço de energia para sistema aberto e a lei dos gases ideais.

Passo 2

Balanço de energia para o gás mais o tanque, considerando que ao escoar massa \mathrm{d}m para fora sai entalpia h=C_{p}T:
\mathrm{d}U_{\text{gás}}+\mathrm{d}U_{\text{tanque}}=-h\,\mathrm{d}m_{\text{out}}.á
Como \mathrm{d}m_{\text{out}}=-\mathrm{d}m (a massa do sistema diminui), e
U_{\text{gás}}=m\,C_{v}\,T,\qquad U_{\text{tanque}}=C_{\text{tanque}}\,T,\qquad h=C_{p}\,T,á
temos
\mathrm{d}(m\,C_{v}T)+C_{\text{tanque}}\,\mathrm{d}T =C_{p}T\,\mathrm{d}m.
Expandindo \mathrm{d}(m\,T)=m\,\mathrm{d}T+T\,\mathrm{d}m resulta
C_{v}(m\,\mathrm{d}T+T\,\mathrm{d}m)+C_{\text{tanque}}\,\mathrm{d}T =C_{p}T\,\mathrm{d}m \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl(C_{v}m+C_{\text{tanque}}\bigr)\mathrm{d}T=R\,T\,\mathrm{d}m,
onde usamos C_{p}-C_{v}=R.

Passo 3

Usamos a lei dos gases ideais para relacionar m, P e T:
m=\frac{P\,V}{R\,T} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}m =\frac{V}{R\,T}\,\mathrm{d}P-\frac{P\,V}{R\,T^{2}}\,\mathrm{d}T.
Substituindo em \bigl(C_{v}m+C_{\text{tanque}}\bigr)\mathrm{d}T=R\,T\,\mathrm{d}m e reorganizando dá
\bigl(m\,C_{p}+C_{\text{tanque}}\bigr)\,\mathrm{d}T =V\,\mathrm{d}P \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}-\frac{C_{p}}{R\,T}\,P =\frac{C_{\text{tanque}}}{V}.

Passo 4

Resolvendo a EDO linear
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}-\frac{C_{p}}{R\,T}\,P =\frac{C_{\text{tanque}}}{V}
o fator integrante é
\mu(T)=\exp\Bigl(-\!\int\frac{C_{p}}{R\,T}\,\mathrm{d}T\Bigr) =T^{-\tfrac{C_{p}}{R}}.
Multiplicando pela integrada e integrando de (P_{1},T_{1}) até (P_{2},T_{2}) resulta
P\,T^{-\tfrac{C_{p}}{R}}\Bigm|_{1}^{2} =\frac{C_{\text{tanque}}}{V} \int_{T_{1}}^{T_{2}}T^{-\tfrac{C_{p}}{R}}\mathrm{d}T.
Como
\int T^{-\tfrac{C_{p}}{R}}\mathrm{d}T =\frac{T^{\,1-\tfrac{C_{p}}{R}}}{1-\tfrac{C_{p}}{R}},
obtemos a equação implícita para T_{2}:

Passo 5

P_{2}\,T_{2}^{-\tfrac{C_{p}}{R}} -P_{1}\,T_{1}^{-\tfrac{C_{p}}{R}} =\frac{C_{\text{tanque}}}{V\,(1-\tfrac{C_{p}}{R})} \Bigl(T_{2}^{\,1-\tfrac{C_{p}}{R}}-T_{1}^{\,1-\tfrac{C_{p}}{R}}\Bigr).
Essa é a relação que deve ser resolvida numericamente (ou iterativamente) para encontrar T_{2} dado P_{1},T_{1},P_{2},V,C_{p},C_{v} e C_{\text{tanque}}.

Resposta

P_{2}\,T_{2}^{-\tfrac{C_{p}}{R}} -P_{1}\,T_{1}^{-\tfrac{C_{p}}{R}} =\frac{C_{\text{tanque}}}{V\,(1-\tfrac{C_{p}}{R})} \Bigl(T_{2}^{\,1-\tfrac{C_{p}}{R}}-T_{1}^{\,1-\tfrac{C_{p}}{R}}\Bigr).

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