A equação de Tait para líquidos é escrita, para uma isoterma, como:
V=V_{0}\left(1-\frac{A P}{B+P}\right)
na qual V é o volume molar ou específico, V_{0} é o volume molar ou específico hipotético na pressão igual a zero, e A e B são constantes positivas. Encontre uma expressão para a compressibilidade isotérmica consistente com essa equação.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Tait para líquidos, à temperatura constante,
V = V_{0}\Bigl(1 - \frac{A\,P}{B + P}\Bigr),
onde V é o volume molar (ou específico) à pressão P, V_{0} é o volume correspondente a P=0 e A,B>0 são constantes.
Queremos a compressibilidade isotérmica, definida por
\kappa_{T} = -\frac{1}{V}\,\biggl(\frac{\partial V}{\partial P}\biggr)_{T}.

Passo 2

Calcular a derivada \partial V/\partial P. Usando \displaystyle V = V_{0}\bigl[1 - A\,P/(B+P)\bigr], temos
\frac{\partial V}{\partial P} = V_{0}\,\frac{d}{dP}\Bigl(-\frac{A\,P}{B+P}\Bigr) = V_{0}\,\frac{-A\,(B+P) + A\,P}{(B+P)^{2}} = -\frac{A\,B\,V_{0}}{(B+P)^{2}}.

Passo 3

Substituir em \displaystyle \kappa_{T} = -\frac{1}{V}\,\frac{\partial V}{\partial P}. Assim,
\kappa_{T} = -\frac{1}{V}\Bigl(-\frac{A\,B\,V_{0}}{(B+P)^{2}}\Bigr) = \frac{A\,B\,V_{0}}{(B+P)^{2}\,V}.

Passo 4

Expressar V em função de P para simplificar:
V = V_{0}\Bigl(1 - \frac{A\,P}{B+P}\Bigr) = V_{0}\,\frac{B + (1 - A)P}{B+P}.
Logo,
\kappa_{T} = \frac{A\,B\,V_{0}}{(B+P)^{2}}\;\frac{B+P}{V_{0}\,[B+(1 - A)P]} = \frac{A\,B}{(B+P)\,\bigl[B + (1 - A)\,P\bigr]}.

Resposta

\boxed{\kappa_{T}(P) = \frac{A\,B}{(B+P)\,\bigl[B + (1 - A)\,P\bigr]}\,.}

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