Um gás ideal escoa através de um tubo horizontal em estado estacionário. Não há adição de calor nem a realização de trabalho de eixo. A área da seção transversal do tubo varia com o comprimento, o que causa variação na velocidade. Deduza uma equação relacionando a temperatura com a velocidade do gás. Se nitrogênio a 150{ }^{\circ} \mathrm{C} escoa através de uma seção do tubo a uma velocidade de 2,5 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, qual será a sua temperatura em outra seção, na qual a sua velocidade é de 50 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} ? Considere C_{P}=(7 / 2) R.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento estacionário de um gás ideal em tubo horizontal, sem troca de calor nem trabalho de eixo. O conteúdo é a primeira lei da termodinâmica para escoamento estacionário (equação de energia de fluxo), que relaciona variações de entalpia e de energia cinética.

Passo 2

A equação de energia para escoamento estacionário, desprezando variação de energia potencial, é
d\Bigl(h + \frac{v^2}{2}\Bigr)=0.

Passo 3

Para um gás ideal a entalpia específica é h=C_{p}T. Logo
dh = C_{p}\,dT
e a equação de energia fica
C_{p}\,dT + v\,dv = 0.
Integrando de 1 a 2:
\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{p}\,dT + \int_{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; C_{p}(T_{2}-T_{1}) + \frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2} = 0.

Passo 4

Rearranjando, obtemos a relação entre temperatura e velocidade:
T_{2} = T_{1} + \frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{2\,C_{p}}.

Passo 5

Dados: \;T_{1}=150\,^{\circ}\mathrm{C}=150+273{,}15=423{,}15\\ \mathrm{K}, \;v_{1}=2{,}5\\ \mathrm{m/s}, \;v_{2}=50\\ \mathrm{m/s}, \;C_{p}=\tfrac{7}{2}R_{\mathrm{espec}}, com R_{\mathrm{espec}} = \dfrac{8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\,K)}}{28\\ \mathrm{kg/kmol}} = 0{,}297\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} =297\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Logo
C_{p} = \frac{7}{2}\times 297 = 1039{,}5\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Substituindo em
T_{2} = 423{,}15 + \frac{(2{,}5)^{2} - (50)^{2}}{2\times1039{,}5} = 423{,}15 - \frac{2493{,}75}{2079{,}0} \approx 421{,}95\\ \mathrm{K}.
Em graus Celsius:
T_{2} = 421{,}95 - 273{,}15 \approx 148{,}8\,^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

A equação deduzida é
T_{2} = T_{1} + \frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{2\,C_{p}},
e numericamente para nitrogênio obtemos
T_{2} \approx 421{,}95\\ \mathrm{K}\approx 148{,}8\,^{\circ}\mathrm{C}.

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