Um gás ideal sofre uma expansão isobárica a uma pressão p. Determine o trabalho realizado, o calor absorvido, a variação da energia e a variação da entropia quando o volume passa de V_{1} até V_{2}.

Passo 1

O enunciado descreve uma expansão isobárica de um gás ideal à pressão p, do volume V_{1} até V_{2}. Precisamos determinar:
– o trabalho W realizado pelo gás;
– o calor Q absorvido;
– a variação da energia interna \Delta U;
– a variação de entropia \Delta S.
Conteúdos que vamos usar:
– Primeira lei da termodinâmica: \displaystyle Q = \Delta U + W.
– Equação de estado do gás ideal: \displaystyle p\,V = n\,R\,T.
– Energia interna de gás ideal: \displaystyle \Delta U = n\,C_{V}\,\Delta T.
– Calor a pressão constante: \displaystyle C_{P} = C_{V} + R.
– Definição de entropia reversível: \displaystyle \Delta S = \int \frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.

Passo 2

Cálculo do trabalho W:
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,dV = p\,(V_{2}-V_{1}).

Passo 3

Relação entre \Delta T e \Delta V:
p\,V = n\,R\,T \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{p\,V}{n\,R} \quad\Longrightarrow\quad \Delta T = \frac{p\,(V_{2}-V_{1})}{n\,R}.
Variação da energia interna:
\Delta U = n\,C_{V}\,\Delta T = n\,C_{V}\,\frac{p\,(V_{2}-V_{1})}{n\,R} = \frac{C_{V}}{R}\;p\,(V_{2}-V_{1}).

Passo 4

Calor absorvido Q pela 1ª lei:
Q = \Delta U + W = \frac{C_{V}}{R}\,p\,(V_{2}-V_{1}) + p\,(V_{2}-V_{1}) = \Bigl(\frac{C_{V}}{R} + 1\Bigr)\,p\,(V_{2}-V_{1}) = \frac{C_{P}}{R}\;p\,(V_{2}-V_{1}).

Passo 5

Variação de entropia num processo reversível:
\Delta S = \int \frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
Em pressão constante dQ_{\text{rev}} = n\,C_{P}\,dT, logo
\Delta S = n\,C_{P}\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{dT}{T} = n\,C_{P}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}.
Como em isobárico \displaystyle \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}}, obtém‐se
\Delta S = n\,C_{P}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.

Resposta

W = p\,(V_{2}-V_{1}) \Delta U = \dfrac{C_{V}}{R}\,p\,(V_{2}-V_{1}) Q = \dfrac{C_{P}}{R}\,p\,(V_{2}-V_{1}) \Delta S = n\,C_{P}\,\ln\dfrac{V_{2}}{V_{1}}