15.9 Oxigênio puro é aquecido, a volume constante, do estado onde T=25^{\circ} \mathrm{C} e p=100 \mathrm{kPa} até um estado onde T=3200 \mathrm{~K}. Determine a pressão e a composição no estado final e a transferência de
calor no processo de aquecimento.

Passo 1

O enunciado pede para aquecer oxigênio puro a volume constante do estado inicial (T_1=25^\circ\mathrm{C}=298\;\mathrm{K},\;p_1=100\;\mathrm{kPa}) até T_2=3200\;\mathrm{K}. Como a temperatura é alta, parte do \mathrm{O_2} se dissocia em átomos \mathrm{O}. Para resolver, usaremos:
  1. a lei dos gases ideais em processo isocórico,
  2. o equilíbrio da reação \mathrm{O_2}\rightleftharpoons2\,\mathrm{O} a 3200 K,
  3. o cálculo do calor Q a partir da variação de entalpia de aquecimento e de dissociação.

Passo 2

Em volume constante, a lei dos gases ideais dá
\frac{p_2}{p_1}=\frac{n_2\,T_2}{n_1\,T_1}.
Tomando 1 mol de \mathrm{O_2} inicial e definindo \xi mol como extensão de reação, no equilíbrio temos
n_{\mathrm{O_2}}=1-\xi,\quad n_{\mathrm{O}}=2\xi,\quad n_2=1+\xi.
Logo
p_2=(1+\xi)\,\frac{T_2}{T_1}\,p_1.

Passo 3

Para a reação \mathrm{O_2}\rightleftharpoons2\,\mathrm{O} o equilíbrio em termos de K_p é
K_p=\frac{p_O^2}{p_{O_2}},
onde p_O=y_O\,p_2, p_{O_2}=y_{O_2}\,p_2,
y_O=\frac{2\xi}{1+\xi},\quad y_{O_2}=\frac{1-\xi}{1+\xi}.
Substituindo e usando p_2=(1+\xi)\frac{T_2}{T_1}p_1 obtém-se
K_p=\frac{T_2}{T_1}\,p_1\;\frac{4\,\xi^2}{1-\xi}.
De tabelas, a 3200 K vale aproximadamente \;K_p\approx2{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{atm}=0{,}203\,\mathrm{Pa}.
Isto leva à equação quadrática
4\frac{T_2}{T_1}p_1\,\xi^2\;+\;K_p\,\xi\;-\;K_p\;=\;0,
cuja solução física é \;\xi\approx2{,}17\times10^{-4}.

Passo 4

Com \xi em mãos, a pressão final vale
p_2=(1+\xi)\frac{T_2}{T_1}p_1 \approx1{,}000217\times10{,}7379\times100\;\mathrm{kPa} \approx1074\;\mathrm{kPa}.
As frações molares finais são
y_{O_2}=\frac{1-\xi}{1+\xi}\approx0{,}99956, \quad y_{O}=\frac{2\xi}{1+\xi}\approx4{,}34\times10^{-4}.

Passo 5

O calor transferido é a entalpia de aquecimento mais a de dissociação:
Q =n_0\int_{T_1}^{T_2}C_{p,m}^{O_2}(T)\,dT +\xi\,\Delta H_\mathrm{diss},
com n_0=1 mol, \Delta H_\mathrm{diss}\approx498\;\mathrm{kJ/mol} e C_{p,m}^{O_2}\approx29\;\mathrm{J/(mol\;K)}.
Calculando
\int_{298}^{3200}29\,dT=29(3200-298)=84{,}16\;\mathrm{kJ}, \quad \xi\,\Delta H_\mathrm{diss}=2{,}17\times10^{-4}\times498=0{,}108\;\mathrm{kJ},
temos
Q\approx84{,}3\;\mathrm{kJ\;por\;mol\;de\;O_2}.

Resposta

p_2\approx1074\;\mathrm{kPa} y_{O_2}\approx0{,}99956,\quad y_{O}\approx4{,}34\times10^{-4} Q\approx84{,}3\;\mathrm{kJ/mol\;de\;O_2}