3.12. Várias espécies de enguias do lodo vivem no fundo do mar, onde se escondem dentro de outros peixes, comendoos de dentro para fora e secretando grandes quantidades de lodo. Sua pele é amplamente utilizada para fazer acessórios e carteiras de pele de enguia. Suponha que uma enguia é capturada em uma armadilha a uma profundidade de 200 m abaixo da superfície do oceano, onde a temperatura da água é de 10^{\circ} \mathrm{C}, sendo então levada para a superfície, onde a temperatura é de 15^{\circ} \mathrm{C}. Se a compressibilidade isotérmica e a expansividade volumétrica forem consideradas constantes e iguais aos valores para a água,
\left(\beta=10^{-4} \mathrm{~K}^{-1} \text { e } \kappa=4,8 \times 10^{-5} \mathrm{bar}^{-1}\right)
qual é a mudança relativa, em percentagem, no volume da enguia quando ela é trazida para a superfície?

Passo 1

O enunciado pede a variação relativa do volume da enguia ao ser trazida de uma profundidade de 200 m (onde a temperatura é de 10^\circ\text{C}) para a superfície (onde a temperatura é de 15^\circ\text{C}), sabendo que a expansibilidade volumétrica \beta e a compressibilidade isotérmica \kappa da enguia podem ser tomadas iguais às da água:
\beta = 1\times10^{-4}\,\text{K}^{-1}, \quad \kappa = 4{,}8\times10^{-5}\,\text{bar}^{-1}.
O conteúdo utilizado será a fórmula da variação volumétrica para variações pequenas de temperatura e pressão:
\frac{\Delta V}{V} \approx \beta\,\Delta T \;-\;\kappa\,\Delta P.

Passo 2

Calculamos a variação de temperatura \Delta T e de pressão \Delta P.
A diferença de temperatura é
\Delta T = 15^\circ\text{C} - 10^\circ\text{C} = 5\,\text{K}.
A pressão a 200 m de profundidade vale aproximadamente
P_{\rm fundo} = 1\,\text{bar} + \frac{\rho\,g\,h}{10^5\;\text{Pa/bar}} \approx 1 + \frac{1000\cdot9{,}81\cdot200}{10^5}\approx 20{,}6\,\text{bar},
logo a variação de pressão ao subir é
\Delta P = P_{\rm superficie}-P_{\rm fundo} =1\,\text{bar}-20{,}6\,\text{bar}=-19{,}6\,\text{bar}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula
\frac{\Delta V}{V} \approx \beta\,\Delta T \;-\;\kappa\,\Delta P.
Como \Delta P é negativo, o termo -\kappa\,\Delta P vira +\kappa\,|\Delta P|.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\beta\,\Delta T =1\times10^{-4}\times5 =5{,}0\times10^{-4},
-\kappa\,\Delta P =-4{,}8\times10^{-5}\times(-19{,}6) =4{,}8\times10^{-5}\times19{,}6 \approx9{,}4\times10^{-4}.
Somando,
\frac{\Delta V}{V} \approx 5{,}0\times10^{-4} + 9{,}4\times10^{-4} =1{,}44\times10^{-3}.

Resposta

A enguia sofre um aumento de volume de aproximadamente 0{,}14\%.

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