Uma turbina a gás ideal deve ser alimentada com ar a 25^{\circ} \mathrm{C} e 101 kPa . A taxa de transferência para o ar na câmara de combustão é de 2068 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} e a temperatura isentrópica de saída da turbina é 1668 K . Qual a máxima razāo de pressão deste ciclo? As eficiências do compressor e da turbina são, respectivamente, iguais a 77 \% e 82 \%. A vazão volumétrica de entrada na turbina é 9768 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. A perda de pressão na câmara de combustăo é de 2 \% em comparação com a pressăo de saida do compressor. Determine a potência produzida, a razăo de consumo do compressor (potência consumida pelo compressor dividido pela potência produzida pela turbina) e a eficiência do ciclo usando a máxima razão calculada. Considere o ar como gás perfeito com \mathrm{k} \in R de 1,4 e 287 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, respectivamente.
FORMULÁRIO E CONSTANTES:
EQUACÓES PARA MOTORES DE COMBUSTÁO INTERNA
V_{d}=\pi \times \frac{D^{2}}{4} \times S \times N_{c l} \left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{k}=\frac{P_{2}}{P_{1}} ;\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{k-1}=\frac{T_{2}}{T_{1}}
q_{H}=\left(u_{3}+p v_{3}\right)-\left(u_{2}+p v_{2}\right)
V_{d \omega}=\pi \times \frac{D^{2}}{4} \times S
q_{L}=\left(u_{4}-u_{1}\right)
q_{H}=\left(u_{3}-u_{2}\right) P v=R T
m=\frac{V_{d}}{\left(v_{1}-v_{2}\right)} ; R C=\frac{V_{\text {max }}}{V_{\text {min }}}=\frac{V_{\text {du }}+v c c}{v c c} w_{c}=q_{H}-q_{t} W_{c}=p m c V_{d}
R C=\frac{V_{1}}{V_{2}} d u=C_{v} d T
N_{c}=p m c \times V_{d} \times \frac{n}{x} d h=C_{p} d T
EQU
\frac{T_{2 s}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{k-1}{k}} ; \frac{T_{3}}{T_{4 s}}=\left(\frac{P_{3}}{P_{4}}\right)^{\frac{k-1}{k}} q_{H}=h_{3}-h_{2}
w_{\text {ard }}=h_{3}-h_{4} \eta_{\text {comp }}=\frac{h_{2 s}-h_{1}}{h_{2}-h_{1}}
Razàodeconsumo =\frac{W_{\text {camp }}}{} \eta_{\text {marb }}=\frac{h_{3}-h_{4}}{h_{2}-h}

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo Brayton ideal com ar, alimento a \(T_{1}=25^\circ\text{C}=298\text{ K}) e \(p_{1}=101\text{ kPa}). Sabemos:
  • Eficiência do compressor \(\eta_{c}=0{,}77)
  • Eficiência da turbina \(\eta_{t}=0{,}82)
  • Calor fornecido por unidade de massa \(q_{\rm in}=2068\text{ kJ/kg})
  • Temperatura de saída isentrópica da turbina \(T_{4s}=1668\text{ K})
  • Vazão volumétrica de entrada na turbina \(\dot V_{3}=9768\text{ m}^3/\text{h})
  • Perda de 2% de pressão na câmara de combustão, isto é, p_{3}=0{,}98\,p_{2}.
    O ar é tratado como gás perfeito com \(k=1{,}4) e \(R=287\text{ J/(kg\cdotK)}).
    Precisamos:
  1. A razão de pressão máxima \(r=\tfrac{p_{2}}{p_{1}}) que satisfaz a condição \(T_{4s}=1668\text{ K}).
  2. A potência produzida pela turbina.
  3. A razão de consumo do compressor \(=\tfrac{W_{c}}{W_{t}}).
  4. A eficiência térmica do ciclo \(\eta_{\rm th}=\tfrac{W_{t}-W_{c}}{q_{\rm in}}).

Passo 2

Escrevemos as temperaturas de saída do compressor e da turbina em função de r.
  1. Expoente isentrópico
a=\frac{k-1}{k}=0{,}4/1{,}4\approx0{,}2857.
  1. Temperatura de saída isentrópica do compressor
T_{2s}=T_{1}\,r^{a}.
  1. Temperatura real de saída do compressor
T_{2}=T_{1}+\frac{T_{2s}-T_{1}}{\eta_{c}} =298+\frac{298\bigl(r^{a}-1\bigr)}{0,77}.
  1. Temperatura após combustão
T_{3}=T_{2}+\frac{q_{\rm in}}{c_{p}} \quad\text{com}\quad c_{p}=\frac{k\,R}{k-1}\approx\frac{1{,}4\cdot287}{0{,}4}\approx1004{,}5\text{ J/(kg\cdotK)},
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T_{3}=T_{2}+\frac{2\,068\,000}{1004{,}5}\approx T_{2}+2059{,}2.
  1. Relação de pressão na turbina \(p_{4}=p_{1}), mas p_{3}=0{,}98\,p_{2}=0{,}98\,r\,p_{1}.
  2. Temperatura de saída isentrópica da turbina
T_{4s} = T_{3}\Bigl(\frac{p_{4}}{p_{3}}\Bigr)^{a} = T_{3}\Bigl(\frac{1}{0,98\,r}\Bigr)^{a}.
Impondo T_{4s}=1668\text{ K}, obtemos a equação em r:
\Bigl[298+\frac{298(r^{a}-1)}{0,77}+2059,2\Bigr]\, \Bigl(\frac{1}{0,98\,r}\Bigr)^{a} =1668.

Passo 3

Resolvendo numericamente por iteração obtemos
r\approx4{,}65.

Passo 4

Calcular a vazão mássica \dot m usando \dot V_{3}=9768\text{ m}^3/\text{h}=2{,}713\text{ m}^3/\text{s}.
No estado 3:
p_{3}=0{,}98\,r\,p_{1} =0{,}98\cdot4{,}65\cdot101\text{ kPa}\approx460{,}3\text{ kPa}, \quad T_{3}\approx2570{,}6\text{ K}.
Densidade
\rho_{3}=\frac{p_{3}}{R\,T_{3}} =\frac{460300}{287\cdot2570{,}6}\approx0{,}624\;\text{kg/m}^3.
Portanto
\dot m=\rho_{3}\,\dot V_{3} =0{,}624\cdot2{,}713\approx1{,}692\;\text{kg/s}.

Passo 5

Temperaturas e trabalhos específicos:
  1. T_{2}\approx298+\tfrac{298(r^{a}-1)}{0,77}\approx511{,}4\text{ K}.
  2. T_{3}\approx511{,}4+2059{,}2=2570{,}6\text{ K}.
  3. Saída real da turbina
T_{4} = T_{3}-\eta_{t}\bigl(T_{3}-T_{4s}\bigr) =2570{,}6-0{,}82\,(2570{,}6-1668{,}3) \approx1830{,}6\text{ K}.
  1. Trabalho por kg na turbina
w_{t}=c_{p}(T_{3}-T_{4}) =1004{,}5\,(2570{,}6-1830{,}6) \approx743{,}3\;\text{kJ/kg}.
  1. Trabalho por kg no compressor
w_{c}=c_{p}(T_{2}-T_{1}) =1004{,}5\,(511{,}4-298) \approx214{,}0\;\text{kJ/kg}.

Passo 6

Potências totais:
P_{t}=\dot m\,w_{t} =1{,}692\cdot743{,}3 \approx1{,}257\;\text{MW}, \quad P_{c}=\dot m\,w_{c} =1{,}692\cdot214{,}0 \approx0{,}362\;\text{MW}.
Razão de consumo do compressor
\frac{P_{c}}{P_{t}} \approx\frac{0{,}362}{1{,}257}\approx0{,}288\;(28{,}8\%).

Passo 7

Eficiência térmica do ciclo
\eta_{\rm th} =\frac{P_{t}-P_{c}}{\dot m\,q_{\rm in}} =\frac{1{,}257-0{,}362}{1{,}692\cdot2068} \approx0{,}256\;(25{,}6\%).

Resposta

Máxima razão de pressão r\approx4{,}65.
Potência produzida pela turbina P_{t}\approx1{,}257\text{ MW}.
Razão de consumo do compressor \approx28{,}8\%.
Eficiência térmica do ciclo \approx25{,}6\%.

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