Uma turbina a gás opera em regime permanente recebe ar a uma pressão de 3,0 bar e a uma temperatura de 390 K . Ar sai da turbina a uma pressão de 1,0bar. O trabalho produzido é medido como 74 kJ por kg de ar escoando pela turbina. A turbina opera adiabaticamente e as variações de energia cinética e potencial entre a admissão e a descarga podem ser desprezadas. Utilizando o modelo de gás ideal determine:
a eficiência isentrópica da turbina.
R.: 70%

Passo 1

O enunciado pede que determinemos a eficiência isentrópica da turbina usando o modelo de gás ideal.
Dados fornecidos (vou listar tudo exatamente como veio no enunciado):
  • Pressão de admissão: P_1 = 3{,}0\\ \text{bar}.
  • Temperatura de admissão: T_1 = 390\\ \text{K}.
  • Pressão de descarga: P_2 = 1{,}0\\ \text{bar}.
  • Trabalho efetivamente produzido (por unidade de massa): w_{\text{real}} = 74\\ \text{kJ/kg}.
  • A turbina opera adiabaticamente e podemos desprezar variações de energia cinética e potencial entre entrada e saída.
  • Resultado esperado (para conferência): eficiência isentrópica da turbina = 70\%.

Passo 2

Entendendo o que significa “eficiência isentrópica” e qual fórmula usar. Vou explicar com calma. A eficiência isentrópica de uma turbina é a razão entre o trabalho real extraído e o trabalho que seria extraído se a expansão fosse ideal (isentrópica). Em fórmula:
\eta_{\text{isen}}=\frac{w_{\text{real}}}{w_{\text{isen}}},
onde w_{\text{isen}} é o trabalho específico na expansão isentrópica entre os mesmos estados de pressão P_1 e P_2. Observação sobre sinais: aqui usamos as grandezas como magnitudes positivas (o trabalho produzido é positivo), portanto a razão acima é correta sem alterar sinais.

Passo 3

Qual é w_{\text{isen}} para um gás ideal? Para um gás perfeito com calor específico a pressão constante praticamente constante, o trabalho específico extraído numa turbina ideal (esforço por unidade de massa) é dado por:
w_{\text{isen}} = c_p\,(T_1 - T_{2s}),
onde:
  • c_p é o calor específico a pressão constante (por unidade de massa), em \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\,\text{K}),
  • T_{2s} é a temperatura de saída no processo isentrópico (estado 2s).
Agora precisamos de T_{2s}. Para um processo isentrópico de um gás ideal com razão de capacidades caloríficas \,k = \dfrac{c_p}{c_v}\,, vale a relação:
\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}}.
Explicando rapidamente de onde vem essa relação: para processo isentrópico PV^k= constante e usando a equação de estado do gás ideal PV=RT e manipulações algébricas chega-se a essa relação entre temperaturas e pressões. Aqui k é a razão c_p/c_v.

Passo 4

Escolhas numéricas para o ar (modelo padrão, e eu justifico porque uso isso): para ar em processos moderados podemos tomar
k = 1{,}4\quad\text{e}\quad c_p = 1{,}005\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\,\text{K}).
Esses valores são tabelados para ar seco e são comumente usados em provas quando nada mais é dito.
Agora calculo T_{2s}. Primeiro a razão de pressões:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{1{,}0}{3{,}0}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333333.
O expoente é
\frac{k-1}{k}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=\frac{2}{7}\approx 0{,}285714.
Portanto
T_{2s}=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}} = 390\left(\frac{1}{3}\right)^{0{,}285714}.
Agora avalio numericamente a potência: \left(\dfrac{1}{3}\right)^{0{,}285714}. Calculando (vou mostrar o valor aproximado usado):
\left(\frac{1}{3}\right)^{0{,}285714}\approx 0{,}7305.
Logo
T_{2s}\approx 390\times 0{,}7305 \approx 284{,}5\\ \text{K}.

Passo 5

Com T_{2s} calculado, encontro o trabalho isentrópico:
w_{\text{isen}} = c_p\,(T_1 - T_{2s}).
Substituindo números (lembre que c_p está em \text{kJ}/(\text{kg}\,\text{K}), então o resultado fica em \text{kJ/kg}):
w_{\text{isen}} \approx 1{,}005\bigl(390 - 284{,}5\bigr) = 1{,}005\times 105{,}5 \approx 106{,}03\\ \text{kJ/kg}.

Passo 6

Agora calculo a eficiência isentrópica:
\eta_{\text{isen}}=\frac{w_{\text{real}}}{w_{\text{isen}}}=\frac{74}{106{,}03}\approx 0{,}698.
Convertendo para porcentagem:
\eta_{\text{isen}}\approx 0{,}698\times 100\% \approx 69{,}8\%\approx 70\%.

Resposta

\eta_{\text{isen}} \approx 0{,}70 = 70\%