UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Problema 11.
Questão Conceituais.
c) Dois pedaços de massa de modelar de mesma massa se movem em sentidos contrários com a mesma velocidade. Eles colidem e se mantêm unidos. Trate os dois pedaços como um sistema só e diga se cada quantidade a seguir são positivas, negativas ou iguais a zero para este processo:
\Delta U, W e Q.
Justifique as respostas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com precisão):
  • Dois pedaços de massa de modelar têm a mesma massa; chamo essa massa de m.
  • Eles se movem em sentidos contrários com a mesma velocidade; chamo essa velocidade de v. Logo as velocidades são +v e -v.
  • Eles colidem e ficam unidos (colisão perfeitamente inelástica).
  • Sou instruído a tratar os dois pedaços como um único sistema isolado (isto é, analisar energia e trabalho para esse sistema).
    O enunciado pede que eu determine, para esse processo, se cada uma das três grandezas abaixo é positiva, negativa ou igual a zero:
  • \Delta U (variação da energia interna do sistema),
  • W (trabalho — aqui entendido como trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno, na convenção termodinâmica usual),
  • Q (calor trocado entre sistema e entorno).
    Não vou resolver ainda; apenas deixei claro o que foi dado e o que é solicitado.

Passo 2

Entendendo o movimento e a quantidade de movimento (momento linear):
  • A quantidade de movimento de cada pedaço é p_1 = m v e p_2 = m(-v) = -m v.
  • A quantidade de movimento total do sistema é
p_{\rm total} = p_1 + p_2 = m v + (-m v) = 0.
Portanto o centro de massa do sistema está em repouso antes da colisão (velocidade do centro de massa igual a zero). Como os pedaços ficam unidos após a colisão, e como o impulso externo total sobre o sistema é nulo durante o choque (assumindo que não há grande impulso externo), o momento total continua sendo zero e o conjunto final fica em repouso.

Passo 3

Calcular as energias cinéticas antes e depois da colisão:
  • Energia cinética de um pedaço antes da colisão: K_{\text{cada}} = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Energia cinética total inicial:
K_i = 2 \cdot \tfrac{1}{2} m v^2 = m v^2.
  • Depois da colisão, os dois pedaços ficam unidos e o sistema inteiro está em repouso (velocidade do centro de massa zero), então a energia cinética final é
K_f = 0.
  • A variação da energia cinética do sistema é
\Delta K = K_f - K_i = 0 - m v^2 = - m v^2.
Ou seja, o sistema perdeu uma quantidade m v^2 de energia cinética.

Passo 4

Relação entre energia cinética perdida e variação da energia interna usando conservação de energia total:
  • Para um sistema fechado (sem trocas de energia com o ambiente como trabalho de fronteira ou calor), a energia total se conserva. A energia total do sistema pode ser escrita como soma da energia interna U (microscópica: energia térmica, ligações, deformação interna, etc.) e das energias macroscópicas (energia cinética do centro de massa, energia potencial externa, etc.).
  • A forma geral da primeira lei, considerando todas as formas de energia, é
\Delta E_{\rm total} = Q - W_{\rm ext},
onde W_{\rm ext} é o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno. Se não há troca de calor ( Q=0) e não há trabalho de fronteira sobre o entorno ( W_{\rm ext}=0), então \Delta E_{\rm total}=0.
  • Como neste choque toda a energia que deixou a forma de energia cinética relativa dos pedaços não saiu do sistema (presumindo que não há emissão significativa para o ambiente), essa energia é convertida em energia interna do material (a massa de modelar se aquece, deforma, etc.). Assim a variação da energia interna satisfaz
\Delta U = -\Delta K.
  • Substituindo \Delta K = - m v^2 obtém-se
\Delta U = -(- m v^2) = m v^2 > 0.
Conclusão: a energia interna do sistema aumenta — o valor é positivo e igual à energia cinética perdida.

Passo 5

Explicando por que Q=0 e W=0 (sinais e conceitos, didaticamente):
  • Sobre Q (calor): calor é transferência de energia entre sistema e vizinhança devido a diferença de temperatura ao longo do tempo. A colisão é um processo muito rápido e a energia que aparece como calor é gerada internamente (transformação da energia mecânica relativa em energia térmica interna). Se tratamos o par de massas como um sistema isolado termicamente durante o choque (hipótese padrão neste tipo de problema), não há fluxo de calor para o exterior durante o choque imediato. Portanto Q=0. Mesmo que depois o bloco quente dissipe calor lentamente para o ambiente, essa dissipação é um processo posterior; no instante do choque, a conversão ocorre internamente.
  • Sobre W (trabalho): o trabalho W que aparece na primeira lei é o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno (por exemplo, deslocamento de uma fronteira sob pressão). Aqui não há fronteiras que se deslocam fazendo trabalho sobre o ambiente, nem forças externas que realizem trabalho significativo durante o choque. As forças que convertem energia são forças internas entre as duas porções de massa; trabalho de forças internas não altera a energia total do sistema visto como fechado. Assim, o trabalho realizado SOBRE o entorno ou PELO sistema no processo é nulo: W=0.
  • Uma forma compacta usando a primeira lei para o sistema fechado é:
\Delta U + \Delta K = Q - W.
Com Q=0 e W=0, obtemos \Delta U = -\Delta K, que foi usado no passo anterior.

Passo 6

Interpretação física e exemplo concreto para fixar a ideia (modo amigo e prático):
  • Pense nos dois pedaços de massa de modelar: ao colidirem e grudarem, eles deixam de se mover relativamente um ao outro; a energia que tinham em movimento vira calor local, vibrações das moléculas, deformação permanente do material. Isso é aumento da energia interna, não transferência de energia para o ambiente.
  • Por isso a energia interna sobe (positivo), enquanto não houve trabalho externo nem calor trocado com o exterior durante o choque (ambos zero).
  • Isso é o que se espera numa colisão inelástica onde a energia cinética “desaparece” da conta macroscópica: ela aparece como aumento da energia interna.

Resposta

\Delta U: positivo
W: 0
Q: 0

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