UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Problema 11.
Questão Conceituais.
c) Dois pedaços de massa de modelar de mesma massa se movem em sentidos contrários com a mesma velocidade. Eles colidem e se mantêm unidos. Trate os dois pedaços como um sistema só e diga se cada quantidade a seguir são positivas, negativas ou iguais a zero para este processo:
.
Justifique as respostas.
Questão Conceituais.
c) Dois pedaços de massa de modelar de mesma massa se movem em sentidos contrários com a mesma velocidade. Eles colidem e se mantêm unidos. Trate os dois pedaços como um sistema só e diga se cada quantidade a seguir são positivas, negativas ou iguais a zero para este processo:
Justifique as respostas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com precisão):
- Dois pedaços de massa de modelar têm a mesma massa; chamo essa massa de
. - Eles se movem em sentidos contrários com a mesma velocidade; chamo essa velocidade de
. Logo as velocidades são e . - Eles colidem e ficam unidos (colisão perfeitamente inelástica).
- Sou instruído a tratar os dois pedaços como um único sistema isolado (isto é, analisar energia e trabalho para esse sistema).
O enunciado pede que eu determine, para esse processo, se cada uma das três grandezas abaixo é positiva, negativa ou igual a zero: -
(variação da energia interna do sistema), -
(trabalho — aqui entendido como trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno, na convenção termodinâmica usual), -
(calor trocado entre sistema e entorno).
Não vou resolver ainda; apenas deixei claro o que foi dado e o que é solicitado.
Passo 2
Entendendo o movimento e a quantidade de movimento (momento linear):
- A quantidade de movimento de cada pedaço é
e . - A quantidade de movimento total do sistema é
Portanto o centro de massa do sistema está em repouso antes da colisão (velocidade do centro de massa igual a zero). Como os pedaços ficam unidos após a colisão, e como o impulso externo total sobre o sistema é nulo durante o choque (assumindo que não há grande impulso externo), o momento total continua sendo zero e o conjunto final fica em repouso.
Passo 3
Calcular as energias cinéticas antes e depois da colisão:
- Energia cinética de um pedaço antes da colisão:
. - Energia cinética total inicial:
- Depois da colisão, os dois pedaços ficam unidos e o sistema inteiro está em repouso (velocidade do centro de massa zero), então a energia cinética final é
- A variação da energia cinética do sistema é
Ou seja, o sistema perdeu uma quantidade
de energia cinética.
Passo 4
Relação entre energia cinética perdida e variação da energia interna usando conservação de energia total:
- Para um sistema fechado (sem trocas de energia com o ambiente como trabalho de fronteira ou calor), a energia total se conserva. A energia total do sistema pode ser escrita como soma da energia interna
(microscópica: energia térmica, ligações, deformação interna, etc.) e das energias macroscópicas (energia cinética do centro de massa, energia potencial externa, etc.). - A forma geral da primeira lei, considerando todas as formas de energia, é
onde
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno. Se não há troca de calor (
) e não há trabalho de fronteira sobre o entorno (
), então
.
- Como neste choque toda a energia que deixou a forma de energia cinética relativa dos pedaços não saiu do sistema (presumindo que não há emissão significativa para o ambiente), essa energia é convertida em energia interna do material (a massa de modelar se aquece, deforma, etc.). Assim a variação da energia interna satisfaz
- Substituindo
obtém-se
Conclusão: a energia interna do sistema aumenta — o valor é positivo e igual à energia cinética perdida.
Passo 5
Explicando por que
e
(sinais e conceitos, didaticamente):
- Sobre
(calor): calor é transferência de energia entre sistema e vizinhança devido a diferença de temperatura ao longo do tempo. A colisão é um processo muito rápido e a energia que aparece como calor é gerada internamente (transformação da energia mecânica relativa em energia térmica interna). Se tratamos o par de massas como um sistema isolado termicamente durante o choque (hipótese padrão neste tipo de problema), não há fluxo de calor para o exterior durante o choque imediato. Portanto . Mesmo que depois o bloco quente dissipe calor lentamente para o ambiente, essa dissipação é um processo posterior; no instante do choque, a conversão ocorre internamente. - Sobre
(trabalho): o trabalho que aparece na primeira lei é o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno (por exemplo, deslocamento de uma fronteira sob pressão). Aqui não há fronteiras que se deslocam fazendo trabalho sobre o ambiente, nem forças externas que realizem trabalho significativo durante o choque. As forças que convertem energia são forças internas entre as duas porções de massa; trabalho de forças internas não altera a energia total do sistema visto como fechado. Assim, o trabalho realizado SOBRE o entorno ou PELO sistema no processo é nulo: . - Uma forma compacta usando a primeira lei para o sistema fechado é:
Com
e
, obtemos
, que foi usado no passo anterior.
Passo 6
Interpretação física e exemplo concreto para fixar a ideia (modo amigo e prático):
- Pense nos dois pedaços de massa de modelar: ao colidirem e grudarem, eles deixam de se mover relativamente um ao outro; a energia que tinham em movimento vira calor local, vibrações das moléculas, deformação permanente do material. Isso é aumento da energia interna, não transferência de energia para o ambiente.
- Por isso a energia interna sobe (positivo), enquanto não houve trabalho externo nem calor trocado com o exterior durante o choque (ambos zero).
- Isso é o que se espera numa colisão inelástica onde a energia cinética “desaparece” da conta macroscópica: ela aparece como aumento da energia interna.