(a) Use a equação de Clausius-Clapeyron e dados da tabela de vapor para água saturada a
para desenvolver uma expressão para a pressão de vapor da água em função da temperatura.
(b) Plote a expressão obtida em um gráfico de P vs T para temperatura de
até
(use alguma ferramenta gráfica).
(c) Inclua os dados da tabela de vapor no gráfico da letra (b) e comente sobre quão bem ou não a equação de Clausius-Clapeyron reproduz os dados.
(b) Plote a expressão obtida em um gráfico de P vs T para temperatura de
(c) Inclua os dados da tabela de vapor no gráfico da letra (b) e comente sobre quão bem ou não a equação de Clausius-Clapeyron reproduz os dados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações vou usar (peguei estes valores de uma tabela padrão de vapor d’água para
).
-
O enunciado pede:
- (a) desenvolver uma expressão para a pressão de vapor da água em função da temperatura usando a equação de Clausius–Clapeyron;
- (b) plotar essa expressão em
vs para de até ; - (c) incluir os dados da tabela de vapor no gráfico e comentar quão bem a equação reproduz os dados.
-
Dados que tomo da tabela padrão (valores tipicamente usados em tabelas de vapor saturado):
- pressão de saturação em
: (1 atm). - calor latente de vaporização (massa) em
: (valor típico da tabela). - massa molar da água:
. - constante universal dos gases:
.
- pressão de saturação em
Observação importante: como o enunciado não trouxe a tabela completa, peguei os dois valores acima (
e
) que são os usuais em tabelas de vapor saturado a
. Vou transformar o calor latente por massa em calor latente molar quando necessário.
Passo 2
Conceito e aproximação a usar (aulas rápidas e claras).
- A equação de Clausius–Clapeyron diferencial é
onde:
-
é a pressão de saturação (Pa), -
é a temperatura absoluta (K), -
é o calor latente por mol (J/mol) se for o volume molar, ou por unidade de massa se for volume específico — vou usar a forma molar, -
é a variação do volume molar entre vapor e líquido: . -
Aproximações justificadas para vapor saturado em faixa até
(não muito perto do ponto crítico): - Volume do líquido é muito menor que o do vapor saturado:
. - Vapor saturado pode ser aproximado por gás ideal (razoável até
e pressões não extremas): (volume molar).
- Volume do líquido é muito menor que o do vapor saturado:
-
Substituindo
na Clausius–Clapeyron obtemos:
- Esta é uma equação diferencial simples para
. Reescrevendo:
Passo 3
Integração e desenvolvimento da expressão (aula passo a passo da integral).
- Integro a expressão entre um ponto de referência
e um :
- A integral do lado esquerdo dá
. - A integral do lado direito dá
(pois ). - Portanto:
- Isolando
:
onde
e
devem estar em kelvin,
é o calor latente molar (J/mol) e
a constante dos gases.
- Observação didática: essa é a forma integrada da Clausius–Clapeyron sob as aproximações discutidas — em provas costuma ser exatamente essa expressão, derivada como acima.
Passo 4
Converter números e escrever a fórmula numérica (cálculo de constantes).
- Primeiro converto o calor latente por massa para calor latente molar:
Faço a conta passo a passo:
(Arredondei para
.)
- Calculo a razão
:
(Valor aproximado
.)
- Tomando
e , a fórmula fica:
com
em kelvin. Esta é a expressão pedida na letra (a) (forma numérica usando os dados de
).
Passo 5
Como plotar (instruções passo a passo e código pronto para gerar o gráfico pedido na letra (b) e sobrepor os dados da tabela na letra (c)).
-
Estratégia:
- Construir um vetor de temperaturas em Celsius de
até , converter para Kelvin. - Avaliar
usando a fórmula numérica do Passo 4. - Carregar ou especificar os pontos da tabela de vapor saturado (valores típicos de tabela) para alguns
discretos e plotar como pontos sobrepostos. - Mostrar eixo
em e eixo em Pa ou kPa (sugiro kPa para leitura).
- Construir um vetor de temperaturas em Celsius de
-
Eu forneço aqui um código Python (numpy + matplotlib) que gera o gráfico e sobrepõe pontos da tabela de vapor. Rode esse código em um ambiente Python (por ex. Jupyter, Google Colab ou outro):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Constantes
P0 = 101325.0 # Pa at 100 C
T0 = 373.15 # K
L_m = 4.066e4 # J/mol (aprox do passo 4)
R = 8.314462618 # J/mol/K
coef = L_m / R
# Temperaturas para o gráfico
T_C = np.linspace(0.01, 100.0, 500) # Celsius
T_K = T_C + 273.15 # Kelvin
# Pressão predita pela Clausius-Clapeyron integrada
P_pred = P0 * np.exp(-coef * (1.0 / T_K - 1.0 / T0))
# Dados típicos de tabela de vapor saturado (valores padrão aproximados)
# (peguei esses pontos de tabelas padrão de vapor saturado)
T_tab_C = np.array([0.01, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.0])
P_tab_Pa = np.array([611.657, 1228.0, 2338.8, 4243.9, 7384.1, 12351.3,
19946.0, 31199.5, 47368.0, 70121.0, 101325.0])
# Plot
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(T_C, P_pred/1000.0, label='Clausius-Clapeyron (modelo)', color='C0') # kPa
plt.scatter(T_tab_C, P_tab_Pa/1000.0, color='C1', marker='o', label='Tabela (pontos)')
plt.yscale('log') # escala log para ver melhor a faixa ampla
plt.xlabel('Temperatura (°C)')
plt.ylabel('Pressão de saturação (kPa)')
plt.title('P vs T: predição por Clausius-Clapeyron e dados de tabela')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.show()
- Observações sobre o gráfico:
- Usei escala logarítmica em
( ) porque a pressão varia por cerca de 2 ordens de grandeza entre e — a escala log facilita a visualização e comparação de erros relativos. - Os pontos da tabela foram colocados como marcadores; a curva é a predição com
constante igual ao valor tomado em .
- Usei escala logarítmica em
Passo 6
Comparação numérica entre a predição e a tabela (cálculo de erros exemplares) e comentários interpretativos (letra (c)).
-
Vou calcular algumas diferenças relativas em pontos representativos (peguei as pressões da tabela listadas no Passo 5). Para cada ponto
da tabela: - converto
para K e avalio com a fórmula do Passo 4; - calculo erro relativo
.
- converto
-
Valores exemplares (cálculo aproximado feito à mão/numérico rápido):
- Em
( ): -
. -
(≈ ). - Erro relativo ≈
→ 35% (modelo superestima).
-
- Em
( ): -
. -
. - Erro relativo ≈ 21% (superestima).
-
- Em
( ): -
. -
. - Erro relativo ≈ 5{,}6% (superestima).
-
- Em
: por construção e erro é zero.
- Em
-
Interpretação didática e comentários:
- O modelo integrado da Clausius–Clapeyron com
constante (avaliado em ) geralmente reproduz razoavelmente bem os dados próximos a , e melhora conforme a temperatura se aproxima de (erro zero em ). - Para temperaturas bem menores que
o modelo tende a superestimar a pressão de vapor: erros de algumas dezenas de porcento nas temperaturas baixas (por ex. ~35% em , ~21% em ). - Razões principais para as discrepâncias:
- O calor latente
varia com a temperatura (não é exatamente constante). Usar dependente de e integrar com melhora bastante o ajuste. - A aproximação do vapor como gás ideal introduz erro, especialmente a pressões maiores (mais perto de
a idealidade ainda é razoável, mas nas regiões muito baixas a influência é menor; contudo a variação de domina). - Outros detalhes termodinâmicos finos (interação vapor-líquido) não capturados pela aproximação simples.
- O calor latente
- Conclusão prática: a expressão obtida pela Clausius–Clapeyron integrada com
constante é útil e captura a dependência exponencial aproximada de com , mas para precisão melhor que poucos por cento é necessário usar (ou tabelas/Antoine/IAPWS) ou ajustes experimentais.
- O modelo integrado da Clausius–Clapeyron com
Resposta
(a)
, com
em kelvin.\n
(b) Gráfico vs
gerado para
até
usando o código Python fornecido (traço: modelo de Clausius–Clapeyron; pontos: dados da tabela).\n
(c) A equação integrada reproduce bem os dados perto de (erro nulo em
por construção) e melhora à medida que
; porém superestima
em temperaturas mais baixas (ex.: erro ≈ 35% em
, ≈ 21% em
, ≈ 5{,}6% em
). As diferenças vêm principalmente do fato de ter usado
constante (na realidade
varia com
) e da aproximação do vapor por gás ideal.
(b) Gráfico
(c) A equação integrada reproduce bem os dados perto de