(a) Use a equação de Clausius-Clapeyron e dados da tabela de vapor para água saturada a 100^{\circ} \mathrm{C} para desenvolver uma expressão para a pressão de vapor da água em função da temperatura.
(b) Plote a expressão obtida em um gráfico de P vs T para temperatura de 0,01^{\circ} \mathrm{C} até 100^{\circ} \mathrm{C} (use alguma ferramenta gráfica).
(c) Inclua os dados da tabela de vapor no gráfico da letra (b) e comente sobre quão bem ou não a equação de Clausius-Clapeyron reproduz os dados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações vou usar (peguei estes valores de uma tabela padrão de vapor d’água para 100^\circ\mathrm{C}).
  • O enunciado pede:
    • (a) desenvolver uma expressão para a pressão de vapor da água em função da temperatura usando a equação de Clausius–Clapeyron;
    • (b) plotar essa expressão em P vs T para T de 0{,}01^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C};
    • (c) incluir os dados da tabela de vapor no gráfico e comentar quão bem a equação reproduz os dados.
  • Dados que tomo da tabela padrão (valores tipicamente usados em tabelas de vapor saturado):
    • pressão de saturação em 100^\circ\mathrm{C}: \,P_0 = 101325\\ \mathrm{Pa} (1 atm).
    • calor latente de vaporização (massa) em 100^\circ\mathrm{C}: \,L_{\mathrm{m,kg}} \approx 2{,}257\times10^{6}\\ \mathrm{J\!/kg} (valor típico da tabela).
    • massa molar da água: \,M = 0{,}01801528\\ \mathrm{kg\!/mol}.
    • constante universal dos gases: \,R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\!/mol\!/K}.
Observação importante: como o enunciado não trouxe a tabela completa, peguei os dois valores acima ( P_0 e L_{\mathrm{m,kg}} ) que são os usuais em tabelas de vapor saturado a 100^\circ\mathrm{C}. Vou transformar o calor latente por massa em calor latente molar quando necessário.

Passo 2

Conceito e aproximação a usar (aulas rápidas e claras).
  • A equação de Clausius–Clapeyron diferencial é
\frac{dP}{dT}=\frac{L}{T\,\Delta v},
onde:
  • P é a pressão de saturação (Pa),
  • T é a temperatura absoluta (K),
  • L é o calor latente por mol (J/mol) se \Delta v for o volume molar, ou por unidade de massa se \Delta v for volume específico — vou usar a forma molar,
  • \Delta v é a variação do volume molar entre vapor e líquido: \Delta v = v_\text{vapor}-v_\text{líq}í.
  • Aproximações justificadas para vapor saturado em faixa até 100^\circ\mathrm{C} (não muito perto do ponto crítico):
    1. Volume do líquido é muito menor que o do vapor saturado: \Delta v \approx v_\text{vapor}.
    2. Vapor saturado pode ser aproximado por gás ideal (razoável até 100^\circ\mathrm{C} e pressões não extremas): v_\text{vapor} \approx \dfrac{R T}{P} (volume molar).
  • Substituindo \Delta v \approx \dfrac{R T}{P} na Clausius–Clapeyron obtemos:
\frac{dP}{dT}=\frac{L}{T}\cdot\frac{P}{R T}=\frac{L P}{R T^{2}}.
  • Esta é uma equação diferencial simples para P(T). Reescrevendo:
\frac{1}{P}\,dP=\frac{L}{R}\,\frac{dT}{T^{2}}.

Passo 3

Integração e desenvolvimento da expressão (aula passo a passo da integral).
  • Integro a expressão entre um ponto de referência (P_0,T_0) e um (P,T):
\int_{P_0}^{P}\frac{1}{P'}\,dP'=\frac{L}{R}\int_{T_0}^{T}\frac{dT'}{T'^{2}}.
  • A integral do lado esquerdo dá \ln\!\left(\dfrac{P}{P_0}\right).
  • A integral do lado direito dá -\dfrac{L}{R}\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_0}\right) (pois \int T'^{-2} dT' = -T'^{-1}).
  • Portanto:
\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{L}{R}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right).
  • Isolando P:
P(T)=P_0\exp\!\left[-\frac{L}{R}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right],
onde T e T_0 devem estar em kelvin, L é o calor latente molar (J/mol) e R a constante dos gases.
  • Observação didática: essa é a forma integrada da Clausius–Clapeyron sob as aproximações discutidas — em provas costuma ser exatamente essa expressão, derivada como acima.

Passo 4

Converter números e escrever a fórmula numérica (cálculo de constantes).
  • Primeiro converto o calor latente por massa para calor latente molar:
L_{\mathrm{m}} = L_{\mathrm{m,kg}}\cdot M = 2{,}257\times10^{6}\\ \mathrm{J\!/kg}\times 0{,}01801528\\ \mathrm{kg\!/mol}.
Faço a conta passo a passo:
L_{\mathrm{m}} \approx 2{,}257\times10^{6}\times 0{,}01801528 \approx 4{,}066\times10^{4}\\ \mathrm{J\!/mol}.
(Arredondei para L_{\mathrm{m}}\approx 4{,}066\times10^{4}\\ \mathrm{J\!/mol}.)
  • Calculo a razão \dfrac{L_{\mathrm{m}}}{R}:
\frac{L_{\mathrm{m}}}{R}\approx\frac{4{,}066\times10^{4}}{8{,}314462618}\approx 4{,}893{,}3.
(Valor aproximado \dfrac{L}{R}\approx 4{,}893{,}3.)
  • Tomando T_0=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K} e P_0=101325\\ \mathrm{Pa}, a fórmula fica:
\boxed{P(T)=101325\\ \exp\!\left[-4{,}893{,}3\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{373{,}15}\right)\right],}
com T em kelvin. Esta é a expressão pedida na letra (a) (forma numérica usando os dados de 100^\circ\mathrm{C}).

Passo 5

Como plotar (instruções passo a passo e código pronto para gerar o gráfico pedido na letra (b) e sobrepor os dados da tabela na letra (c)).
  • Estratégia:
    1. Construir um vetor de temperaturas em Celsius de 0{,}01^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}, converter para Kelvin.
    2. Avaliar P(T) usando a fórmula numérica do Passo 4.
    3. Carregar ou especificar os pontos da tabela de vapor saturado (valores típicos de tabela) para alguns T discretos e plotar como pontos sobrepostos.
    4. Mostrar eixo T em ^\circ\mathrm{C} e eixo P em Pa ou kPa (sugiro kPa para leitura).
  • Eu forneço aqui um código Python (numpy + matplotlib) que gera o gráfico e sobrepõe pontos da tabela de vapor. Rode esse código em um ambiente Python (por ex. Jupyter, Google Colab ou outro):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Constantes
P0 = 101325.0            # Pa at 100 C
T0 = 373.15              # K
L_m = 4.066e4            # J/mol (aprox do passo 4)
R = 8.314462618          # J/mol/K
coef = L_m / R

# Temperaturas para o gráfico
T_C = np.linspace(0.01, 100.0, 500)    # Celsius
T_K = T_C + 273.15                     # Kelvin

# Pressão predita pela Clausius-Clapeyron integrada
P_pred = P0 * np.exp(-coef * (1.0 / T_K - 1.0 / T0))

# Dados típicos de tabela de vapor saturado (valores padrão aproximados)
# (peguei esses pontos de tabelas padrão de vapor saturado)
T_tab_C = np.array([0.01, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.0])
P_tab_Pa = np.array([611.657, 1228.0, 2338.8, 4243.9, 7384.1, 12351.3,
                     19946.0, 31199.5, 47368.0, 70121.0, 101325.0])

# Plot
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(T_C, P_pred/1000.0, label='Clausius-Clapeyron (modelo)', color='C0') # kPa
plt.scatter(T_tab_C, P_tab_Pa/1000.0, color='C1', marker='o', label='Tabela (pontos)')
plt.yscale('log')  # escala log para ver melhor a faixa ampla
plt.xlabel('Temperatura (°C)')
plt.ylabel('Pressão de saturação (kPa)')
plt.title('P vs T: predição por Clausius-Clapeyron e dados de tabela')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.show()
  • Observações sobre o gráfico:
    • Usei escala logarítmica em P ( \mathtt{yscale("log")}) porque a pressão varia por cerca de 2 ordens de grandeza entre 0{,}01^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C} — a escala log facilita a visualização e comparação de erros relativos.
    • Os pontos da tabela foram colocados como marcadores; a curva é a predição com L constante igual ao valor tomado em 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Comparação numérica entre a predição e a tabela (cálculo de erros exemplares) e comentários interpretativos (letra (c)).
  • Vou calcular algumas diferenças relativas em pontos representativos (peguei as pressões da tabela listadas no Passo 5). Para cada ponto T_i da tabela:
    • converto T_i para K e avalio P_{\text{modelo}}(T_i) com a fórmula do Passo 4;
    • calculo erro relativo \varepsilon = \dfrac{P_{\text{modelo}}-P_{\text{tabela}}}{P_{\text{tabela}}}.
  • Valores exemplares (cálculo aproximado feito à mão/numérico rápido):
    • Em T=0{,}01^\circ\mathrm{C} ( T=273{,}16\\ \mathrm{K}):
      • P_{\text{tabela}} \approx 611{,}657\\ \mathrm{Pa}.
      • P_{\text{modelo}} \approx 8{,}25\times10^{2}\\ \mathrm{Pa} (≈ 825\\ \mathrm{Pa}).
      • Erro relativo ≈ (825-612)/612 \approx 0{,}35 → 35% (modelo superestima).
    • Em T=20^\circ\mathrm{C} ( T=293{,}15\\ \mathrm{K}):
      • P_{\text{tabela}} \approx 2338{,}8\\ \mathrm{Pa}.
      • P_{\text{modelo}} \approx 2826\\ \mathrm{Pa}.
      • Erro relativo ≈ 21% (superestima).
    • Em T=60^\circ\mathrm{C} ( T=333{,}15\\ \mathrm{K}):
      • P_{\text{tabela}} \approx 19946\\ \mathrm{Pa}.
      • P_{\text{modelo}} \approx 21070\\ \mathrm{Pa}.
      • Erro relativo ≈ 5{,}6% (superestima).
    • Em T=100^\circ\mathrm{C}: por construção P_{\text{modelo}}=P_0=101325\\ \mathrm{Pa} e erro é zero.
  • Interpretação didática e comentários:
    • O modelo integrado da Clausius–Clapeyron com L constante (avaliado em 100^\circ\mathrm{C}) geralmente reproduz razoavelmente bem os dados próximos a T_0, e melhora conforme a temperatura se aproxima de 100^\circ\mathrm{C} (erro zero em T_0).
    • Para temperaturas bem menores que 100^\circ\mathrm{C} o modelo tende a superestimar a pressão de vapor: erros de algumas dezenas de porcento nas temperaturas baixas (por ex. ~35% em 0{,}01^\circ\mathrm{C}, ~21% em 20^\circ\mathrm{C}).
    • Razões principais para as discrepâncias:
      1. O calor latente L varia com a temperatura (não é exatamente constante). Usar L dependente de T e integrar com L(T) melhora bastante o ajuste.
      2. A aproximação do vapor como gás ideal introduz erro, especialmente a pressões maiores (mais perto de 100^\circ\mathrm{C} a idealidade ainda é razoável, mas nas regiões muito baixas a influência é menor; contudo a variação de L domina).
      3. Outros detalhes termodinâmicos finos (interação vapor-líquido) não capturados pela aproximação simples.
    • Conclusão prática: a expressão obtida pela Clausius–Clapeyron integrada com L constante é útil e captura a dependência exponencial aproximada de P com 1/T, mas para precisão melhor que poucos por cento é necessário usar L(T) (ou tabelas/Antoine/IAPWS) ou ajustes experimentais.

Resposta

(a) \displaystyle P(T)=101325\\ \exp\!\left[-4{,}893{,}3\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{373{,}15}\right)\right], com T em kelvin.\n
(b) Gráfico P vs T gerado para T=0{,}01^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} usando o código Python fornecido (traço: modelo de Clausius–Clapeyron; pontos: dados da tabela).\n
(c) A equação integrada reproduce bem os dados perto de 100^\circ\mathrm{C} (erro nulo em 100^\circ\mathrm{C} por construção) e melhora à medida que T\to100^\circ\mathrm{C}; porém superestima P em temperaturas mais baixas (ex.: erro ≈ 35% em 0{,}01^\circ\mathrm{C}, ≈ 21% em 20^\circ\mathrm{C}, ≈ 5{,}6% em 60^\circ\mathrm{C}). As diferenças vêm principalmente do fato de ter usado L constante (na realidade L varia com T) e da aproximação do vapor por gás ideal.