Utilizando interpolação linear, estime o volume específico de água nas seguintes condições, utilizando dados das tabelas de vapor:
\mathrm{P}=1,9 \mathrm{MPa} ; \mathrm{T}=270^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as condições \mathrm{P}=1{,}9\\ \mathrm{MPa} e \mathrm{T}=270^\circ\mathrm{C} e pede: estimar o volume específico da água (isto é, o volume específico do vapor/água) nessas condições usando interpolação linear com os dados das tabelas de vapor.\n\nInformações relevantes que temos do enunciado:\n- Pressão: \mathrm{P}=1{,}9\\ \mathrm{MPa}.\n- Temperatura: \mathrm{T}=270^\circ\mathrm{C}.\n- Pedem o volume específico v (normalmente em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}).\n\nO que está implícito e preciso para resolver: precisamos dos valores da tabela de vapor (tabela de vapor saturado e/ou tabela de vapor superaquecido) para localizar os pontos que vão servir de referência para a interpolação. Essas entradas de tabela NÃO foram enviadas junto com o enunciado.

Passo 2

Explicação do que precisamos consultar nas tabelas (passo conceitual).\n\n1) Primeiro precisamos verificar se o estado é saturado, mistura ou superaquecido. Para isso consultamos a tabela de vapor saturado e obtemos a temperatura de saturação correspondente a \mathrm{P}=1{,}9\\ \mathrm{MPa}, isto é \,T_\text{sat}(P=1{,}9\\ \mathrm{MPa}).\n\n2) Se \mathrm{T} > T_\text{sat} então o vapor está no estado superaquecido (precisamos da tabela de vapor superaquecido). Se \mathrm{T} = T_\text{sat} é vapor saturado seco; se \mathrm{T} < T_\text{sat} é líquido comprimido ou mistura (nesse último caso precisaríamos das propriedades saturadas líquido/vapor).\n\nImportante: a tabela de saturação e as tabelas de vapor superaquecido NÃO foram fornecidas aqui; sem essas entradas não é possível obter um valor numérico. A seguir eu ensino exatamente como proceder assim que você tiver os números da tabela.

Passo 3

Método de interpolação linear (fórmula geral) — a “receita” que você deve aplicar na prova.\n\nSe temos dois pontos da tabela (x_1,y_1) e (x_2,y_2) e queremos o valor y correspondente a x entre x_1 e x_2, a interpolação linear é\n y = y_1 + (y_2-y_1)\,\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.\n\nAqui cada símbolo significa:\n- x: a variável independente na qual estamos interpolando (pode ser \mathrm{T} ou \mathrm{P}).\n- y: a variável dependente que queremos estimar (no nosso caso v, o volume específico).\n- x_1,x_2: os dois valores na tabela que ficam imediatamente abaixo e acima de x.\n- y_1,y_2: os valores correspondentes de y (volume específico) na tabela para x_1 e x_2.\n\nEssa fórmula é simples e o que você tem que repetir na prova. Agora como aplicá-la ao nosso problema.

Passo 4

Aplicação prática — caso 1: tabela de superaquecido tem entradas para a mesma pressão \mathrm{P}=1{,}9\\ \mathrm{MPa} (interpolação em temperatura).\n\nPassos concretos:\n1. Na tabela de vapor superaquecido (coluna da pressão \mathrm{P}=1{,}9\\ \mathrm{MPa}) localize as duas temperaturas T_1 e T_2 tais que T_1 \le 270^\circ\mathrm{C} \le T_2. Pegue os volumes específicos correspondentes v_1=v(T_1,\;P) e v_2=v(T_2,\;P).\n2. Use a fórmula de interpolação com x=T e y=v:\n v(270^\circ\mathrm{C},\,1{,}9\\ \mathrm{MPa}) = v_1 + (v_2-v_1)\,\frac{270 - T_1}{T_2 - T_1}.\n\nExpliquei o porquê: fixamos a pressão e interpolamos linearmente entre as duas temperaturas próximas para obter o valor em 270^\circ\mathrm{C}. Simples e direto.

Passo 5

Aplicação prática — caso 2: tabela de superaquecido não tem coluna para \mathrm{P}=1{,}9\\ \mathrm{MPa}, mas tem colunas para duas pressões P_1 e P_2 que cercam 1{,}9\\ \mathrm{MPa} (interpolação em pressão).\n\nPassos concretos:\n1. Na tabela, para cada uma das pressões P_1 e P_2 encontre a entrada à temperatura T=270^\circ\mathrm{C}. Pegue v(P_1,270^\circ\mathrm{C}) e v(P_2,270^\circ\mathrm{C}).\n2. Interpole em pressão usando x=P e y=v:\n v(270^\circ\mathrm{C},\,1{,}9\\ \mathrm{MPa}) = v(P_1,270^\circ\mathrm{C}) + \bigl[v(P_2,270^\circ\mathrm{C})-v(P_1,270^\circ\mathrm{C})\bigr]\frac{1{,}9-P_1}{P_2-P_1}.\n\nObservação: pressões devem estar nas mesmas unidades (aqui \mathrm{MPa}).

Passo 6

Caso geral (mais completo): quando nem a mesma pressão nem a mesma temperatura aparecem exatamente na tabela — usar interpolação bilinear (duas interpolações lineares sequenciais).\n\nProcedimento bilinear (passos para a prova):\n1. Identifique duas pressões P_1 e P_2 que cercam 1{,}9\\ \mathrm{MPa}, e duas temperaturas T_1 e T_2 que cercam 270^\circ\mathrm{C}.\n2. Na tabela obtenha quatro valores: \,v_{11}=v(P_1,T_1),\\ v_{12}=v(P_1,T_2),\\ v_{21}=v(P_2,T_1),\\ v_{22}=v(P_2,T_2).\n3. Primeiro interpole em temperatura para cada pressão:\n v_{1}(270) = v_{11} + (v_{12}-v_{11})\frac{270-T_1}{T_2-T_1},\n v_{2}(270) = v_{21} + (v_{22}-v_{21})\frac{270-T_1}{T_2-T_1}.\n4. Depois interpole em pressão entre v_{1}(270) e v_{2}(270):\n v(270,\,1{,}9) = v_{1}(270) + \bigl[v_{2}(270)-v_{1}(270)\bigr]\frac{1{,}9-P_1}{P_2-P_1}.\n\nIsso é só aplicar a fórmula linear duas vezes — é o método mais robusto quando a grade da tabela não bate exatamente com as condições.

Passo 7

O que falta para eu dar o número final (e por que não posso inventar valores).\n\nPara retornar um valor numérico do volume específico \,v eu preciso dos valores da(s) tabela(s): seja\n- T_\text{sat} em P=1{,}9\\ \mathrm{MPa} para saber se o estado é superaquecido, e\n- Em seguida os valores de v extraídos da tabela de vapor superaquecido (ou das duas pressões e temperaturas necessárias) para aplicar as fórmulas acima.\n\nEssas entradas de tabela não foram fornecidas no enunciado. Sem os números reais das tabelas eu não posso calcular numericamente e não devo inventar valores pois isso levaria a um resultado incorreto na sua prova. Se você tiver as linhas da tabela correspondentes (por exemplo os pares (T_1,v_1) e (T_2,v_2) na coluna P=1{,}9\\ \mathrm{MPa}, ou as quatro entradas para bilinear), apliquei imediatamente a fórmula mostrada no Passo 6 e te devolvo o cálculo passo a passo.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o volume específico sem os valores das tabelas de vapor (entradas de v para as pressões/temperaturas necessárias).