Exercícios Resolvidos de Manuseio de Expressões com Probabilidade Condicional

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Enunciado

Considere um reino encantado bem, bem distante. Há uma chance de 50% de que uma rainha carregue o gene da magia. Se ela for portadora do gene, então cada príncipe terá, um independentemente do outro, 50% de chance de ter poderes mágicos. Se a rainha não for portadora desses poderes, os príncipes não herdarão o dom da magia. A rainha teve três filhos.

a) Se a rainha for portadora do gene da magia, qual a probabilidade de pelo menos um de seus três filhos possuir o gene da magia?

b) Supondo que todos os filhos da rainha não têm poderes mágicos, qual a probabilidade de que ela seja portadora do gene da magia?

Passo 1

Cara, como em todo bom problema de probest, precisamos ler com bastante atenção o enunciado e entender o que ele tá pedindo pra gente.

O enunciado conta pra gente sobre uma rainha ser ou não portadora do gene da magia, e sobre seus três filhos, que podem ter ou não poderes mágicos.

Logo, vamos criar 2 eventos:

R = r a i n h a   p o s s u i r   o   g e n e   d a   m a g i a

A i = o   p r í n c i p e   i   p o s s u i r   p o d e r e s   m á g i c o s ,   c o m   i = 1,2 , 3

Além disso, sabemos que:

P R = 1 2

P A 1 R = P A 2 R = P A 3 R = 1 2

P A 1 R c = P A 2 R c = P A 3 R c = 0

Passo 2

a) Se a rainha for portadora do gene da magia, qual a probabilidade de pelo menos um de seus três filhos possuir o gene da magia?

Sempre que a questão falar de pelo menos um, você já pode ficar ligado: vamos fazer a união dos eventos!

Nesse caso, queremos:

P ( U i = 1 3 A i | R )

E iremos calcular essa probabilidade usando independêncial condicional:

P U i = 1 3 A i R = ∑ i = 1 3 P A i R - ∑ i > j P A i ∩ A j R + P ( ∩ i = 1 3 A i | R )

= 1 2 + 1 2 + 1 2 - 1 2 2 - 1 2 2 - 1 2 2 + 1 2 3 = 7 8

Passo 3

b) Supondo que todos os filhos da rainha não têm poderes mágicos, qual a probabilidade de que ela seja portadora do gene da magia?

Bom, aqui já sabemos que os filhos não tem poderes, e com isso queremos calcular a prob. da rainha ser portadora do gene da magia. Ou seja, a probabilidade da rainha ser portadora do gene dado que os 3 filhos não tem poderes:

P ( R | ∩ i = 1 3 A i c )

Calculando isso, temos, pela fórmula da condicional:

P R ∩ i = 1 3 A i c = P R ∩ ∩ i = 1 3 A i c P ∩ i = 1 3 A i c =

Agora lembrando da fórmula da probabilidade total para a probabilidade do denominador, temos:

P R [ ∏ I = 1 3 P ( A i c | R ) ] P R ∏ I = 1 3 P ( A i c | R ) + P R c [ ∏ I = 1 3 P ( A i c | R c ) ]

= 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 × 1 × 1 = 1 9

Resposta

a) 7 8

b) 1 9