Manuseio de Expressões com Probabilidade Condicional

Teoria Completa

Agora que já entendemos probabilidade condicional vamos falar de como podemos manusear sua fórmula e desenvolver outras expressões a partir dela.

Pra manusear temos que lembrar de conjuntos, não tem jeito! Na realidade essa fórmula entra como mais uma ferramenta pra nos ajudar, pois se antigamente tínhamos que:

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B

P A ∩ B = P A + P B - P A ∪ B

Agora temos que:

P A B = P A ∩ B P B → P A ∩ B = P A B . P ( B )

A ideia então é sempre que aparecer ou uma condicional ou uma interseção utilizarmos essa substituição marota.

Pra esse tipo de questão, de “mostre que”, não tem muito jeito: só treinando muito!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,

60. Como fica a relação abaixo para n eventos quaisquer A 1 , A 2 , A 3 … A n ?

P A ∩ B ∩ C = P A . P B A P ( C | A ∩ B )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa é: Não pira!

O enunciado pede a relação para n eventos quaisquer, mas vamos olhar primeiro essa relação? Tá, vamos lá...

Essa relação é verdadeira? Bom, pelo enunciado parece que sim, mas vamos entender ela.

P A ∩ B ∩ C = P A . P B A P ( C | A ∩ B )

Vamos olhar para o lado direito primeiro e ver como podemos “abrir” essa equação:

P B A = P A ∩ B P A

P C A ∩ B = P A ∩ B ∩ C P A ∩ B

Então:

P A ∩ B ∩ C = P A . P A ∩ B P A       P A ∩ B ∩ C P A ∩ B

Cancelando cada lado teremos que:

P A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C

Passo 2

Agora que entendemos melhor o mecanismo, vamos olhar para o caso com quatro eventos... A ideia de olhar para quatro é ver o que muda e como muda para conseguir fazer uma analogia com o caso com n eventos ok?

Bom, podemos falar que:

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P ( A ∩ B ∩ C ∩ D )

A partir da probabilidade condicional temos que:

P A B = P A ∩ B P B → P A ∩ B = P A B . P ( B )

Então

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P D A ∩ B ∩ C . P ( A ∩ B ∩ C )

Substituindo P ( A ∩ B ∩ C ) :

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P D A ∩ B ∩ C P A . P B A P ( C | A ∩ B )

Reorganizando

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P A . P B A P C A ∩ B . P D A ∩ B ∩ C

Notamos então que ao fazermos para quatro eventos, acrescentamos uma parcela. E essa parcela é algo do tipo:

P ( A n | A 1 ∩ A 2 … A n - 1 )

Percebe-se que se fizermos para cinco eventos iremos acrescentar um termo análogo a esse na expressão e assim por diante. Veja só o esquema abaixo:

P A ∩ B ∩ C = P A . P B A . P C A ∩ B

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P A . P B A . P C A ∩ B . P D A ∩ B ∩ C

P A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E = P A . P B A . P C A ∩ B . P D A ∩ B ∩ C . P E A ∩ B ∩ C ∩ D

Notamos que esse é o termo que é acrescentado a nossa expressão. Assim podemos pensar no caso geral né?

Passo 3

Pro caso geral então teremos:

P A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n - 2 ∩ A n - 1 ∩ A n = P A 1 . P A 2 A 1 . P A 3 A 1 ∩ A 2 … P A n - 1 A 1 ∩ A 2 … ∩ A n - 2 . P A n A 1 ∩ A 2 … ∩ A n - 1    

Resposta

Exercício Resolvido #2

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004

Sejam A,B e C pertencentes a um mesmo espaço amostral. Mostre que:

a) P A c B = 1 - P A B

b) P A ∪ B C = P A C + P B C - P A ∩ B C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá! Uma coisa de cada vez

a) P A c B = 1 - P A B

Vamos desenvolver cada lado separadamente?

L.E: P A c B = P A c ∩ B P B

L.D.: P A B = P A ∩ B P B

P A c B = 1 - P A B →   P A c ∩ B P B = 1 - P A ∩ B P B

Bom, vamos supor que essa equação é verdadeira. Se for podemos passar tudo que for letra pra um lado e tudo o que for número (no caso só o 1 mesmo hehe) pro outro certo?

  P A c ∩ B P B + P A ∩ B P B = 1

Passo 2

Agora vamos mexer nessa equação!

Como tem o mesmo denominador, vamos juntar o numerador:

  P A c ∩ B + P A ∩ B P B = 1

Epa! Essa soma aí.. Podemos escrever como:

P ( A c ∩ B ∪ A ∩ B ) P B = 1  

Agora se liga no diagrama:

Esses são os nossos eventos. Como não sabemos se eles são disjuntos ou não, colocamos o caso mais abrangente, ou seja, quando ele possuem interseção.

Vamos mostrar agora: A c ∩ B

E A ∩ B :

Com o diagrama conseguimos notar que :

A c ∩ B ∪ A ∩ B = B

Assim temos que:

P ( B ) P B = 1 = 1

Passo 3

b) P A ∪ B C = P A C + P B C - P A ∩ B C

Vamos olhar para cada lado separadamente:

Lado esquerdo:

P A ∪ B C = P A ∪ B ∩ C P C

Lado direito:

P A C + P B C - P A ∩ B C

Olhando para cada termo:

P A C = P A ∩ C P C

P B C = P B ∩ C P C

P A ∩ B C = P A ∩ B ∩ C P C  

Teremos assim no lado direito:

P A ∩ C P C + P B ∩ C P C - P A ∩ B ∩ C P C

Reescrevendo a expressão:

P A ∪ B ∩ C P C = P A ∩ C P C + P B ∩ C P C - P A ∩ B ∩ C P C

Supondo ser verdadeira essa expressão, vamos mudar de lado o termo negativo, lembrando de trocar o sinal:

P A ∪ B ∩ C P C +   P A ∩ B ∩ C P C = P A ∩ C P C + P B ∩ C P C

A ∪ B ∩ C ∪ [ A ∩ B ∩ C ) ] = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )

Vamos olhar para o diagrama para ver se é verdade:

Logo é verdadeiro!

Resposta

a) Verdadeira

b) Verdadeira

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