Exercícios Resolvidos de Manuseio de Expressões com Probabilidade Condicional

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Enunciado

60. Como fica a relação abaixo para n eventos quaisquer A 1 , A 2 , A 3 … A n ?

P A ∩ B ∩ C = P A . P B A P ( C | A ∩ B )

Passo 1

Primeira coisa é: Não pira!

O enunciado pede a relação para n eventos quaisquer, mas vamos olhar primeiro essa relação? Tá, vamos lá...

Essa relação é verdadeira? Bom, pelo enunciado parece que sim, mas vamos entender ela.

P A ∩ B ∩ C = P A . P B A P ( C | A ∩ B )

Vamos olhar para o lado direito primeiro e ver como podemos “abrir” essa equação:

P B A = P A ∩ B P A

P C A ∩ B = P A ∩ B ∩ C P A ∩ B

Então:

P A ∩ B ∩ C = P A . P A ∩ B P A       P A ∩ B ∩ C P A ∩ B

Cancelando cada lado teremos que:

P A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C

Passo 2

Agora que entendemos melhor o mecanismo, vamos olhar para o caso com quatro eventos... A ideia de olhar para quatro é ver o que muda e como muda para conseguir fazer uma analogia com o caso com n eventos ok?

Bom, podemos falar que:

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P ( A ∩ B ∩ C ∩ D )

A partir da probabilidade condicional temos que:

P A B = P A ∩ B P B → P A ∩ B = P A B . P ( B )

Então

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P D A ∩ B ∩ C . P ( A ∩ B ∩ C )

Substituindo P ( A ∩ B ∩ C ) :

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P D A ∩ B ∩ C P A . P B A P ( C | A ∩ B )

Reorganizando

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P A . P B A P C A ∩ B . P D A ∩ B ∩ C

Notamos então que ao fazermos para quatro eventos, acrescentamos uma parcela. E essa parcela é algo do tipo:

P ( A n | A 1 ∩ A 2 … A n - 1 )

Percebe-se que se fizermos para cinco eventos iremos acrescentar um termo análogo a esse na expressão e assim por diante. Veja só o esquema abaixo:

P A ∩ B ∩ C = P A . P B A . P C A ∩ B

P A ∩ B ∩ C ∩ D = P A . P B A . P C A ∩ B . P D A ∩ B ∩ C

P A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E = P A . P B A . P C A ∩ B . P D A ∩ B ∩ C . P E A ∩ B ∩ C ∩ D

Notamos que esse é o termo que é acrescentado a nossa expressão. Assim podemos pensar no caso geral né?

Passo 3

Pro caso geral então teremos:

P A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n - 2 ∩ A n - 1 ∩ A n = P A 1 . P A 2 A 1 . P A 3 A 1 ∩ A 2 … P A n - 1 A 1 ∩ A 2 … ∩ A n - 2 . P A n A 1 ∩ A 2 … ∩ A n - 1