Enunciado

38. Determine a mudança na entropia do ar em k J / k g , considerando que ele é submetido a uma mudança de estado de 100   k P a e 20   ° C para 600   k P a e 300   ° C . Utilize a equação de estado P ( v   -   a )   =   R T , onde a   =   0,01   m 3 / k g , e compare o resultado com o valor obtido por meio da equação de estado do gás ideal.

Passo 1

Olha só! Inicialmente, para se resolver esse problema, é de suma importância saber que podem ser utilizados aquecimentos específicos constantes para o ar.

Em seguida, bora tirar a média das temperaturas antes e depois da mudança de estado do gás.

T = 20   ° C + 300   ° C 2

T = 160   ° C

Passando essa temperatura pra K e l v i n ...

T = 160 + 273   K

T = 433   K

Ai você deve estar se perguntando provavelmente o porquê de termos feito isso. Bom! Nós precisamos consultar a tabela da nossa bibliografia, pra obter no caso, o valor de c p e também o valor da constante R dos gases.

E é isso mesmo que vamos fazer. Na temperatura de 433   K , temos que...

c p = 1,018   k J / k g ⋅ K

R = 0,287   k J / k g ⋅ K

Passo 2

Pronto! A parte introdutória meio chatinha, já ficou pra trás.

Agora, vamos nos concentrar na equação abaixo...

v = R T P + a

E também na seguinte relação..

δ v δ T P = R P

Em seguida, vamos recorrer à formula do diferencial de entropia, que tem a seguinte cara...

d s = c p d T T - δ v δ T P d P

Bom! Anteriormente, nós evidenciamos que...

δ v δ T P = R P

Sendo assim, substituindo no diferencial de entropia, ficamos com...

d s = c p d T T - R d P P

Mas o valor de v é...

v = R T P + a

O que nos leva à...

d s = c p d T T - R d P P

d s = c p d T T - R d P P

Passo 3

Depois de tudo isso, bora se concentrar agora na expressão abaixo.

d s = c p d T T - R d P P

Integrando em ambos os lados de um instante ( 1 ) até um instante ( 2 ) qualquer...

∫ 1 2 d S = ∫ 1 2 c p d T T - R d P P

s 2 - s 1 = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ P 2 P 1

Dessa expressão, sabemos que...

c p = 1,018   k J / k g ⋅ K T 2 = 300   ° C = 300 + 273   K = 573   K T 1 = 20   ° C = 20 + 273   K = 293   K R = 0,287   k J / k g ⋅ K P 1 = 100   k P a P 2 = 600   k P a

Então, nossa resposta vai ser, substituindo os valores numéricos conhecidos, igual à:

s 2 - s 1 = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ P 2 P 1

∆ s = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ P 2 P 1

∆ s = ( 1,018   k J / k g ⋅ K ) ln ⁡ 573   K 293   K - ( 0,287   k J / k g ⋅ K ) ln ⁡ 600   k P a 100   k P a

∆ s = 0,1686   k J / k g ⋅ K

Como podemos ver na fórmula que utilizamos para obter a variação de entropia do nosso problema, ela é exatamente igual à que utilizamos para um gás ideal. Ou seja, o valor obtido, considerando o ar como um gás ideal, é igual à...

∆ s = 0,1686   k J / k g ⋅ K

Pronto! Missão cumprida!

Resposta

P a r a   o   n o s s o   m o d e l o → ∆ s = 0,1686   k J / k g ⋅ K

C o n s i d e r a n d o   o   a r   u m   g á s   i d e a l → ∆ s = 0,1686   k J / k g ⋅ K

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