Enunciado

Água e bombeada de um reservatório mais baixo para um reservatório mais alto por uma bomba que fornece 20   k W de potência de eixo. A superfície livre do reservatório superior está 45   m acima daquela do reservatório inferior. Considerando que a vazão da água é de 0,03   m 3 / s , determine a potência mecânica convertida em energia térmica durante esse processo devido aos efeitos do atrito.

Passo 1

O enunciado diz que a bomba consome 20   k W para fazer a água passar de um reservatório mais baixo para um reservatório mais alto. Isso quer dizer que a única função dessa bomba é aumentar a energia potencial da bomba. O problema é que parte dos 20   k W que a bomba recebe do eixo não contribuem para a variação da energia potencial. Parte se perde por atrito. É essa perda que o enunciado quer que a gente calcule! A figura abaixo mostra todas as informações que a questão nos dá para calcular essa parte perdida por atrito.

Ou seja, a quantidade de energia que a bomba desperdiça por segundo devido ao atrito W ˙ a t r i t o é igual à energia total que ela recebe por segundo W ˙ b o m b a ,   e n t menos a energia que ela dá pra água na forma de energia potencial Δ E ˙ m e c , f l u i d o .

W ˙ a t r i t o = W ˙ b o m b a ,   e n t - Δ E ˙ m e c , f l u i d o

W ˙ b o m b a ,   e n t é dado pelo enunciado e evale 20   k W .

Δ E ˙ m e c , f l u i d o precisa ser calculado. Ele é a variação de energia potencial. A sua fórmula será mostrada e explicada no próximo passo.

Passo 2

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = m ˙ ⋅ g ⋅ Δ z

onde g é a aceleração da gravidade da Terra que vale 9,81   m / s 2 , Δ z é a variação de altura da água do reservatório mais baixo pro reservatório mais alto e m ˙ é a vazão mássica de água.

O valor de Δ z é mostrado na figura. Quando a água se desloca do ponto 1 para o ponto 2 , ela se eleva em 45   m .

Δ z = 45   m

m ˙ precisa ser calculado a partir da vazão volumétrica da água V ˙ dada pelo enunciado. Convertemos V ˙ em m ˙ , multiplicando V ˙ pela densidade da água ρ .

m ˙ = ρ ⋅ V ˙

A vazão volumétrica da água V ˙ é dada pela questão.

V ˙ = 0,03   m 3 / s

Atenção! O exercício não fala quanto vale o ρ da água líquida a temperatura ambiente. Mas podemos considerar que ele vale 1000   k g / m 3 !

ρ = 1000   m 3 k g

Agora vamos para o passo final de cálculo de W ˙ a t r i t o .

Passo 3

Começamos calculando a vazão mássica m ˙ .

m ˙ = ρ ⋅ V ˙       ⟹       m ˙ = 1000 ⋅ 0,03       ⟹       m ˙ = 30   k g / s

A segunda etapa é calcular a variação de energia potencial Δ E ˙ m e c , f l u i d o .

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = m ˙ ⋅ g ⋅ Δ z

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 30 ⋅ 9,81 ⋅ 45

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 13243 , 5   W

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 13 , 243 5   k W

Por fim, calculamos o que o exercício pede W ˙ a t r i t o .

W ˙ a t r i t o = 20 - 13,243 5       ⟹       W ˙ a t r i t o = 6 , 7565   k W

Resposta

W ˙ a t r i t o = 6 , 7565   k W

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