Enunciado

Um arranjo pistão-cilindro contém 0,15 k g de ar, inicialmente a 2   M P a e 350   ° C . O ar é então expandido isotermicamente para 500 k P a , depois comprimido politropicamente com um expoente politrópico de 1,2 até a pressão inicial e, finalmente, comprido a uma pressão constante até o estado inicial. Determine o trabalho de fronteira em cada processo e o trabalho líquido do ciclo.

Passo 1

Para resolver este problema, iremos assumir o ar como um gás ideal e dividir o processo em três etapas diferentes que serão abordadas nos próximos passos. O trabalho de cada etapa será calculado e o trabalho total será a soma dos trabalhos das três etapas.

Antes de começar a resolver o problema devemos encontrar o valor da constante do gás (R) para o ar na Tabela A-2a (página 909). Ao consultar a tabela, podemos observar que o valor de R para o ar é de 0,2870 k J / k g . K .

Passo 2

A primeira etapa do processo é uma expansão isotérmica de ar de 3   M P a a 500 k P a . Para calcular o trabalho, precisamos antes calcular os volumes nos estados 1 e 2 do processo a partir da equação do gás ideal:

V 1 = m R T 1 P 1   =   ( 0 , 15 k g ) ( 0,2870   k J / k g K ) ( 62 3   K ) 2 00 0   k P a     =   0,0 1341   m ³

V 2 = m R T 2 P 2   =   ( 0 , 15 k g ) ( 0,2870   k J / k g K ) ( 62 3   K ) 5 0 0   k P a     =   0,0 5364   m ³

Lembrando que para um processo isotérmico, a equação do trabalho é:

W f ,   1 - 2 =   P 1 V 1 ln V 2 V 1

Substituindo as variáveis, chegamos a:

W f ,   1 - 2 =   P 1 V 1 ln V 2 V 1 = 2 000   k P a 0,01341   m 3 ln 0,05364   m 3 0,01341   m 3   = 37,18   k J

Passo 3

A segunda etapa do processo é uma compressão politrópica de expoente 1,2 de ar 500 k P a até 2   M P a . Para calcular o trabalho, precisamos antes calcular o volume no estado 3 a partir da relação:

P 2 V 2 n   =   P 3 V 3 n

Substituindo as variáveis, temos:

P 2 V 2 n   =   P 3 V 3 n   →  ( 500   k P a ) ( 0,05364   m ³ ) 1,2   =   ( 2000   k P a   ) V 3 1,2      

Assim, explicitando V 3 :

V 3 = ( 500   k P a ) ( 0,05364   m ³ ) 1,2 ( 2000   k P a   ) 1 1,2 = 0,01690   m ³

Lembrando que para um processo politrópico, a equação do trabalho é:

W f ,   2 - 3 =   P 3 V 3 - P 2 V 2 1 - n

Substituindo as variáveis, chegamos a:

W f ,   2 - 3 =   P 3 V 3 - P 2 V 2 1 - n =   ( 20 00   k P a   ) ( 0,0169   m ³ ) - ( 50 0   k P a ) ( 0,05364   m 3 ) 1 - 1,2 = - 34,90   k J

Passo 4

A terceira etapa do processo é uma compressão isobárica até o estado inicial, com o volume de   0,01341   m ³ .

Lembrando que para um processo isobárico, a equação do trabalho é:

W f ,   3 - 1 = P ( V 1 - V 3 )  

Substituindo as variáveis, chegamos a:

W f ,   3 - 1 = P V 1 - V 3 = 2000   k P a 0,01341   m 3 - 0,01690   m 3 = - 6,98   k J

Resposta

O trabalho líquido do processo é a soma dos trabalhos em cada etapa:

W f = W f ,   1 - 2 + W f ,   2 - 3 + W f ,   3 - 1 =   37,18   k J - 34,90   k J   - 6,98   k J =   - 4,7   k J    

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