Enunciado

Considere um rio escoando em direção a um lago com uma velocidade média de 3   m / s a uma vazão de 500   m 3 / s em um local 90   m acima da superfície do lago. Determine a energia mecânica total da água do rio por unidade de massa e o potencial para geração de potência do rio naquele local.

Passo 1

O problema envolve o escoamento de um rio, que produz energia elétrica a partir da energia mecânica da água. Temos então, uma velocidade, uma vazão e uma altitude, apresentados no enunciado. Devemos determinar a energia mecânica total da água do rio por unidade de massa e o potencial para geração de potência do rio naquele local. Tranquilo até aqui?

Na figura abaixo temos o esquema para o entendimento do exercício:

Temos como dados:

  • V = 3   m / s , que é a velocidade de escoamento do rio;
  • V ˙ = 500   m 3 / s , que é a vazão volumétrica do rio, ou seja, o volume de água que passa a cada segundo;
  • W ˙ , é a potência que queremos determinar;
  • e m e c â n i c a , será a energia mecânica por unidade de massa que vamos determinar;
  • h = 90   m , é a altura da queda d’água.

Entendido isso, podemos iniciar os cálculos.

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a energia mecânica por unidade de massa. Essa energia corresponde a energia total presente na água e pode ser escrita como:

e m e c â n i c a = e c i n é t i c a + e p o t e n c i a l

A energia cinética é proveniente do movimento da água e a energia potencial é a parcela que depende da altura da queda d’água. Temos então:

e c i n é t i c a = m ∙ V 2 2

e p o t e n c i a l = m ∙ g ∙ h

Temos então:

e m e c â n i c a = m ∙ V 2 2 + m ∙ g ∙ h

e m e c â n i c a = m V 2 2 + g ∙ h

e m e c â n i c a m = V 2 2 + g ∙ h

Agora podemos substituir os valores:

e m e c â n i c a m = 3 2 2 + 9,81 ∙ 90 = 4,5 + 882,9

e m e c â n i c a m = 887,4   J k g

Passo 3

Vamos calcular agora o potencial para geração de potência no rio. O potencial de geração é obtido pela seguinte multiplicação:

W ˙ m á x = m ˙ ∙ e m e c â n i c a   ( I )

A água possui ρ = 1000   k g m 3 . Para obter a vazão mássica, temos:

m ˙ = ρ ∙ V ˙

Então:

m ˙ = 1000   k g m 3 ∙ 500   m 3 s

m ˙ = 500000   k g s     ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos:

W ˙ m á x = 500000 ∙ 887,4 = 443700000   W

Convertendo para m e g a w a t t , temos:

W ˙ m á x = 443,7   M W

Até a próxima, pessoal!

Resposta

e m e c â n i c a m = 887,4   J k g

W ˙ m á x = 443,7   M W

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