Enunciado

Determine o aumento na temperatura do gás nitrogênio a 1200   K , quando a energia interna específica for aumentada de 40   k J / k g , a partir de:

a) Um valor de C v 0 constante da Tabela A.5.

b) Um valor de C v 0 obtido da equação na Tabela A.6 para 1200   K .

c)Valores de u listados na Tabela A.8.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! A questão nos deu um gás com um aumento de energia interna ∆ u = 40   k J / k g e pede pra gente determinar a variação de temperatura ∆ T .

Na primeira condição do item a), nós temos o calor específico a volume constante C v 0 da Tabela A.5. Olhando para o nitrogênio, esse valor na Tabela é C v 0 = 0,745   k J / k g ∙ K .

Como queremos achar a variação de temperatura, vamos usar a equação:

∆ u = C v 0 ∆ T

∆ T = ∆ u C v 0

. Então basta substituir os valores:

∆ T = 40 0,745 = 53,69   ° C

Passo 2

Para encontrar o ∆ T na condição do item b) temos que achar o valor de C v 0 através da equação de C p 0 fornecida pela Tabela A . 6 . O enunciado pede pra gente usar o calor específico na temperatura T 1 = 1200   K . Para achar o C v 0 usamos a equação dos gases perfeitos na forma:

C v 0 = C p 0 - R

Onde R é a constante de gás do nitrogênio, que pode ser encontrada na tabela também valendo R = 0,2968   k J / k g ∙ K . O C p 0 pode ser calculado através da equação:

C p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

Onde θ é a temperatura dividida por 1000 . Logo,

θ = T 1 1000

θ = 1200 1000 = 1,2

Os coeficientes C 0 ,     C 1 ,     C 2 ,     C 3 podem ser encontrados por meio da Tabela A.6. Assim, temos:

C 0 = 1,11

C 1 = - 0,48

C 2 = 0,96

C 3 = - 0,42

Substituindo esses valores na equação, temos:

C p 0 = 1,11 - 0,48 1,2 + 0,96 1,2 2 - 0,42 1,2 3

C p 0 = 1,19064   k J / k g ∙ K

Usando a equação para achar o C v 0 , temos:

C v 0 = C p 0 - R

C v 0 = 1,19064 - 0,2968

C v 0 = 0,89384   k J / k g ∙ K

Para encontrar ∆ T substituímos esse valor na equação do Passo 1:

∆ T = ∆ u C v 0

∆ T = 40 0,89384 = 44,8   ° C

Resolvemos a letra b), agora vamos pra próxima.

Passo 3

Na condição da letra c), para calcular ∆ T , temos que encontrar primeiro o valor da energia interna u 1 , quando sua temperatura valia T 1 = 1200   K e o valor da energia interna u 2 que o nitrogênio passou a ter depois do aumento de ∆ u = 40   k J / k g .

u 2 = ∆ u + u 1

Para encontrar u 1 , usamos o valor da entalpia h 1 que o nitrogênio tinha quando sua temperatura T 1 era 1200   K . Encontramos na tabela,

h 1 = 1313,16   k J / k g

Para encontrar u 1 usamos a fórmula para gases perfeitos:

u 1 = h 1 - R T 1

u 1 = 1313,16 - 0,2968 1200

u 1 = 957   k J / k g

Substituindo os dados que temos na equação de u 2 :

u 2 = ∆ u + u 1

u 2 = 40 + 957

u 2 = 997   k J / k g

Passo 4

Agora temos que encontrar h 2 a partir de u 2 para usar a tabela de gases perfeitos e encontrar a temperatura T 2 que o gás nitrogênio passa a ter após o aumento da energia interna. Achamos h 2 através da equação de gases perfeitos:

h 2 = u 2 + R T 2

h 2 = 997 + 0,2 968 × T 2

Como vimos nas letras a) e b) o aumento da temperatura ∆ T deve ser menor que 100   K . Logo, T 2 deve ficar entre 1200   K e 1300   K . Isso quer dizer que podemos achar h 2 interpolando a tabela de entalpia para gases perfeitos:

h 2 = 1313,16 + 14 34,31 - 1313,16 1300 - 1200 × ( T 2 - 1200 )

Igualando essa à outra equação de h 2 , podemos achar o valor de T 2 :

997 + 0,2968 × T 2 = 1313,16 + 1434,31 - 1313,16 1300 - 1200 × ( T 2 - 1200 )

Reorganizando essa equação,

T 2 = 9 9700 - 1313,16 + 121,15 × 1200 121,15 - 29,68

T 2 = 1243,7   K  

Subtraindo T 2 de T 1 achamos ∆ T :

∆ T = T 2 - T 1

∆ T = 1243,7 - 1200

∆ T = 43,7   K

Prontinho, com o resultado da letra c) encerramos o exercício 😉.

Resposta

a) ∆ T = 53,69   ° C

b) ∆ T = 44,8   ° C

c) ∆ T = 43,7   K

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