Enunciado

Durante um processo de expansão, a pressão de um gás muda de 15 para 100 psia de acordo com a relação P = a V + b , onde   a   = 5   p s i a / p é ³ e b é uma constante. Considerando que o volume inicial do gás é 7 pés³, calculo o trabalho realizado durante o processo.

Passo 1

Para resolver este problema, precisamos encontrar o volume no estado 2 (a 100 psia).

No estado 1, temos a seguinte relação:

P 1 = a V 1 + b

Como P 1 , V 1 e a são todos determinados no enunciado, conseguimos calcular o valor de b:

15   p s i a = 5 p s i a p é 3 7   p é 3 + b → b = 15   p s i a - 35   p s i a =   - 20   p s i a

No estado 2, temos a seguinte relação:

P 2 = a V 2 + b

Como já possuímos o valor de b , podemos calcular o volume no estado final:

100   p s i a = 5 p s i a p é 3 V 2 - 20   p s i a   → 5 p s i a p é 3 V 2 = 120   p s i a   →   V 2 = 25   p é ³  

Passo 2

Note que possuímos uma função que relaciona pressão e volume, e que ela é uma reta. Podemos então plotar essa reta partindo do estado inicial até o final:

Devemos relembrar que o trabalho pode ser definido como:

W f =   ∫ 1 2 P d V

Devemos lembrar também que o significado de uma integral é a área embaixo de uma curva.

Logo, para calcular o valor do trabalho de fronteira, devemos calcular a área da região limitada pela curva P-V e seus estados inicial e final.

Note que o nosso gráfico está delimitado em vermelho pelos estados inicial e final do processo. Assim é possível notar que a figura geométrica abaixo da curva é um trapézio. Devemos lembrar, então, a fórmula da área de um trapézio:

A t r a p é z i o =   ( B a s e   m a i o r + b a s e   m e n o r ) ( a l t u r a ) 2

Ao comparar com o nosso gráfico, podemos notar que a base maior do trapézio se trata da pressão de 100 p s i a , enquanto a base menor trata-se da pressão de 15 p e a altura é a variação de volume entre os estados 1 e 2. Assim:

W f =   A 1 = ( P 1 + P 2 ) ( V 2 - V 1 ) 2   = ( 100   p s i a + 15   p s i a ) ( 24   p é ³ - 7   p é ³ ) 2  

W f = 977,5   p s i a . p é ³

Resposta

Para converter para Btu, basta lembrar que 1 Btu vale 5,404   p s i a . p é ³ :

W f =   977,5   p s i a . p é 3 1   B t u 5,404   p s i a . p é 3 = 180 ,   9   B t u  

O sinal positivo indica que trabalho foi realizado pelo sistema.

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