Enunciado

A energia interna específica de um gás de van der Waals é dada por

u = c v T - a v + c o n s t a n t e

a) Esboce uma superfície u - T - v , supondo que c v seja constante.

b) Mostre que, para um gás de van der Waals,

c P - c v = R 1 - 2 a v - b 2 R T v 3

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O item (a) é bastante simples. Basta esboçar a superfície de equação

u = c v T - a v

As curvas de nível são obtidas tomando u = u 0 :

c v T = u 0 + a v

Assim, as curvas de nível no plano T - v serão hipérboles. A seguir fazemos um esboço da superfície:

Considere apenas a região com T > 0 e v > 0 .

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Temos que calcular a diferença c P - c v . Para isso, recomendo que você dê uma boa olhada na seção 4.2 do livro, especialmente na equação 4-6:

c P - c v = ∂ u ∂ v T + P ∂ v ∂ T P

A equação para a energia foi dada no enunciado:

u = c v T - a v

Derivando com relação ao volume:

∂ u ∂ v T = a v 2

Já a pressão é dada pela equação de estado de van der Waals que foi estudada no capítulo 2:

P = R T v - b - a v 2

Assim,

∂ u ∂ v T + P = a v 2 + R T v - b - a v 2 = R T v - b

Com isso, já temos que

c P - c v = R T v - b ⋅ ∂ v ∂ T P

Agora falta achar essa outra derivada.

Passo 3

Vamos escrever a equação de van de Waals de outra forma:

P + a v 2 v - b = R T

Assim,

P v - P b + a v - a b v 2 = R T

Daí, derivamos a equação com relação a T , mantendo P fixo:

P ∂ v ∂ T P - 0 - a v 2 ∂ v ∂ T P + 2 a b v 3 ∂ v ∂ T P = R

Com isso,

∂ v ∂ T P P - a v 2 + 2 a b v 3 = R

Substituindo a expressão de P :

∂ v ∂ T P R T v - b - a v 2 - a v 2 + 2 a b v 3 = R

∂ v ∂ T P R T v - b - 2 a v v 3 + 2 a b v 3 = R → ∂ v ∂ T P R T v - b - 2 a v - b v 3 = R

Ou ainda,

∂ v ∂ T P R T v - b 1 - 2 a v - b 2 R T v 3 = R

Com isso,

∂ v ∂ T P = v - b T ⋅ 1 1 - 2 a v - b 2 R T v 3

Desta forma, usando o resultado do fim do passo 2:

c P - c v = R T v - b ⋅ ∂ v ∂ T P = R T v - b ⋅ v - b T ⋅ 1 1 - 2 a v - b 2 R T v 3

Assim, obtemos o resultado esperado:

c P - c v = R 1 - 2 a v - b 2 R T v 3

Resposta

Demonstração.

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