Enunciado

A energia interna específica de uma substância é dada por

u = 3 T 2 + 2 v ,

em um conjunto de unidades apropriadas.

a) Esboce um diagrama u - T - v para essa substância.

b) Calcule a variação na temperatura da substância, se 5 unidades de calor forem adicionadas, enquanto o volume da substância for mantido constante.

c) Durante um decréscimo adiabático de 20 % no volume da substância, a variação na sua temperar pode ser determinada a partir das informações dadas? Se for assim, calcule-a. Se não diga quais as informações adicionais que devem ser fornecidas.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Começamos pelo item (a).

As curvas de nível no plano T - v serão parábolas com equação u 0 = 3 T 2 + 2 v . A seguir fazer um plot da superfície:

Considere apenas a região com T > 0 e v > 0 .

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Primeiro calcular o calor específico a volume constante:

c v = ∂ u ∂ T v = 6 T

Daí, lembramos que para processos com volume constante:

d u = c v   d T → d u = 6 T   d T

Integramos

∫ d u = ∫ T 0 T f 6 T   d T → Δ u = 3 T f 2 - T 0 2

Portanto,

Δ u = 3 T f + T 0 T f - T 0 = 3 T f + T 0 Δ T

Logo,

Δ T = Δ u 3 T f + T 0

Como Δ u = 5 , temos

Δ T = 5 3 T f + T 0

Passo 3

Agora vamos para o item (c).

Para discutir essa questão, temos que usar a equação 4-8:

c v   ∂ T ∂ v s = - ∂ u ∂ v T + P

Já sabemos que c v = 3 T e ∂ u / ∂ v T = 2 , de modo que a equação fica

3 T   ∂ T ∂ v s = - 2 + P

O próximo passo seria integrar a relação para obter uma relação entre T e v no processo adiabático. Mas para isso, precisaríamos saber a equação de estado do sistema, isto é, P como função de T e v . Como não temos essa informação, não podemos proceder com a conta e resolver o problema.

Resposta

Δ T = 5 3 T f + T 0

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