A Fig.P6.111 mostra uma parte dos dutos de um sistema de ventilação operando em regime permanente. Os dutos são bem isolados e a pressão é muito próxima a 1   a t m em todo o conjunto. Admitindo o modelo de gás ideal para o ar com c p = 0,24   B t u / l b ⋅ ° R   ( 1,0   k J / k g ⋅ K ) e os efeitos das energias cinética e potencial, determine:

a) a temperatura do ar na saída, em ° F .

b) o diâmetro na saída, em f t .

c) a taxa de geração de entropia no interior do duto, em B t u / m i n ⋅ ° R .

Passo 1

Opa, tudo bem:

Vem comigo que vamos começar a resolver mais uma questão juntos!

Letra a)

Começamos o nosso problema aplicando um balanço de massa:

m ˙ 1 + m ˙ 2 = m ˙ 3

Aplicando um balando de taxa de energia:

Q ˙ v c - W ˙ v c + m ˙ 1 h 1 + V 1 2 2 + g z 1 + m ˙ 2 h 2 + V 2 2 2 + g z 2 - m ˙ 3 h 3 + V 3 2 2 + g z 3 = 0

Como Q ˙ v c = W ˙ v c = 0 e os efeitos da energia cinética e potencial sendo desprezados, temos:

m ˙ 1 h 1 + V 1 2 2 + g z 1 + m ˙ 2 h 2 + V 2 2 2 + g z 2 - m ˙ 3 h 3 + V 3 2 2 + g z 3 = 0

Rearranjando:

m ˙ 1 h 1 - h 3 + V 1 2 - V 3 2 2 + m ˙ 2 h 2 - h 3 + V 2 2 - V 3 2 2 = 0

Sendo as energias potencial e cinética desprezíveis:

m ˙ 1 h 1 - h 3 + m ˙ 2 h 2 - h 3 = 0

m ˙ 1 c p T 1 - T 3 + m ˙ 2 c p T 2 - T 3 = 0

Da equação dos gases ideais:

p 1 v 1 = R T 1

v 1 = R T 1 p 1

Pela equação de fluxo mássico:

m ˙ 1 = A 1 V 1 v 1 = p 1 π 4 D 1 2 V 1 R T 1

Substituindo os dados:

m ˙ 1 = 14,7 ⋅ π 4 ⋅ 4 2 ⋅ 400 60 53,34 ⋅ 540

m ˙ 1 = 6,15675   l b / s

Em 2:

m ˙ 2 = A 2 V 2 v 2 = p 2 π 4 D 2 2 V 2 R T 2

m ˙ 2 = 14,7 ⋅ π 4 ⋅ 4 2 ⋅ 2000 60 53,34 ⋅ 500

m ˙ 2 = 2,6456   l b / s

Substituindo os valores na nossa equação de taxa de energia:

6,15675 ⋅ 0,24 ⋅ 540 - T 3 + 2,6456 ⋅ 0,24 ⋅ 500 - T 3 = 0

T 3 = 528 ° R

Passo 2

Letra b)

Calculando o diâmetro de saída:

m ˙ 3 = m ˙ 1 + m ˙ 2

m ˙ 3 = 6,15675 + 2.6456

m ˙ 3 = 8,80235   l b / s

Assim:

m ˙ 3 = A 3 V 3 v 3 = π 4 D 3 2 ⋅ V 3 v 3 = π 4 D 3 2 ⋅ V 3 ⋅ p 3 R T 3

Substituindo os dados:

8,80235 = π 4 ⋅ D 3 2 ⋅ 400 60 ⋅ 14,7 ⋅ 144 53,34 ⋅ 528

D 3 = 4,73   f t

Passo 3

Letra c)

Aplicando a equação de taxa de geração de entropia:

∑ Q ˙ i T i + m ˙ 1 s 1 + m ˙ 2 s 2 - m ˙ 3 s 3 + σ ˙ v c = 0

Como ∑ Q ˙ i T i = 0 e abrindo m ˙ 3 :

σ ˙ v c = m ˙ 1 s 1 + m ˙ 2 s 2 - ( m ˙ 1 + m ˙ 2 ) s 3

σ ˙ v c = m ˙ 1 s 3 - s 1 + m ˙ 2 s 3 - s 2

Abrindo:

σ ˙ v c = m ˙ 1 c p ln ⁡ T 3 T 1 - R ln ⁡ p 3 p 1 + m ˙ 2 c p ln ⁡ T 3 T 2 - R ln ⁡ p 3 p 2

Como a pressão é constante:

σ ˙ v c = m ˙ 1 c p ln ⁡ T 3 T 1 + m ˙ 2 c p ln ⁡ T 3 T 2

σ ˙ v c = c p m ˙ 1 ln ⁡ T 3 T 1 + m ˙ 2 ln ⁡ T 3 T 2

Substituindo os dados:

σ ˙ v c = 0,24 ⋅ 6,15675 ⋅ ln ⁡ 528 540 + 2,6450 ⋅ ln ⁡ 528 500

σ ˙ v c = 1,3896 × 10 - 3 B t u / s ⋅ ° R = 0,0833   B t u / m i n ⋅ ° R

Te espero na próxima questão!

Resposta

a )   T 3 = 528 ° R

b )   D 3 = 4,73   f t

c )   σ ˙ v c = 1,3896 × 10 - 3 B t u / s ⋅ ° R = 0,0833   B t u / m i n ⋅ ° R

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