Enunciado

Um gás ideal passa por dois processos em um arranjo pistão-cilindro, da seguinte maneira:

1 - 2 Compressão politrópica de T 1 e P 1 com o expoente politrópico n e a razão de compressão de r = V 1 / V 2 .

2 - 3   Expansão a uma pressão constante a P 3 = P 2 até V 3 = V 1 .

  1. Esboce o processo em um único diagrama P - V .
  2. Obtenha uma expressão para a razão do trabalho de compressão-expansão como uma função de n e r.
  3. Encontre o valor dessa razão para valores de n = 1,4 e r = 6 .

Passo 1

O processo no diagrama P - V é dado da seguinte forma:

Passo 2

Temos que a expressão para calcular o trabalho vem da seguinte integral:

W = ∫ P d V

Para a compressão politrópica, teremos que a pressão não será constante, daí, substituiremos P na integral, assim:

W c o m p = ∫ 1 2 C V - n d V = P 2 V 2 - P 1 V 1 1 - n = m R T 2 - T 1 1 - n

Do processo de expansão, teremos a pressão constante, daí, o trabalho será dado por:

W e x p a n = P ( V 3 - V 2 )

W e x p a n = m R ( T 3 - T 2 )

Note que, pela expressão de uma compressão politrópico conseguimos chegar na seguinte relação de volume e temperatura:

T 1 T 2 = V 2 V 1 n - 1

Temos que r = V 1 / V 2 , daí:

T 1 T 2 = V 2 V 1 n - 1 = 1 r n - 1 = r 1 - n

Já na expansão a pressão constante, teremos P 2 = P 3 = P , e V 3 = V 1 , assim:

P V 2 T 2 = P V 3 T 3 → T 3 T 2 = V 3 V 2 = V 1 V 2 = r

Queremos encontrar uma expressão para o trabalho de compressão-expansão como função de n   e   r , assim, fazendo a razão dos dois trabalhos, temos:

W r a z ã o = W c o m p W e x p a n = m R T 2 - T 1 1 - n m R T 3 - T 2 = 1 - T 1 / T 2 n - 1 T 3 / T 2 - 1

Colocando as temperaturas em termos de r , temos:

W r a z ã o = 1 - r 1 - n ( n - 1 ) ( r - 1 )

Passo 3

Considerando n = 1,4 e r = 6 , teremos substituindo na expressão de razão dos trabalhos compressão-expansão o seguinte valor:

W r a z ã o = 1 - 6 - 0,4 0,4 5 = 0,256

Resposta

Assim,

(b) W r a z ã o = 1 - r 1 - n n - 1 r - 1

(c) 0,256.

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