Enunciado

Grandes turbinas eólicas com pás de envergadura de mais de 100   m estão disponíveis para a geração de energia elétrica. Considere uma turbina eólica com pás de envergadura de 100   m instalada em um local sujeito a ventos constantes de 8   m / s . Considerando que a turbina eólica tem uma eficiência global de 32   % e a densidade do ar é de 1,25   k g / m 3 , determine a potência elétrica gerada por essa turbina. Da mesma forma, considerando ventos constantes de 8   m / s durante um período de 24   h o r a s , determine a quantidade de energia elétrica e a receita geradas por dia para um preço unitário de eletricidade equivalente a U S $   0,06 / k W h .

Passo 1

O exercício quer saber a potência elétrica gerada por uma turbina eólica W ˙ t u r b i n a . Essa potência elétrica nada mais é do que a quantidade de energia elétrica que essa turbina consegue produzir a cada segundo. A turbina eólica produz essa energia usando toda a energia cinética do vento que passa pelas pás da turbina a cada segundo. Para calcular a energia cinética do vento, precisamos calcular a energia cinética por unidade de massa desse vento k e .

k e = V 2 2

onde V é a velocidade do vento em metro por segundo ( m / s ) . Ela vale:

V = 8   m / s

A turbina converte a energia cinética do vento em eletricidade com uma eficiência η t u r b i n a de 32   % . Como já conhecemos esse valor de eficiência, podemos calcular a potência elétrica gerada pela turbina W ˙ t u r b i n a pela fórmula de η t u r b i n a ela é a fórmula 2 - 46 .

η t u r b i n a = W ˙ t u r b i n a Δ E ˙ m e c , f l u i d o       ⟹       W ˙ t u r b i n a = Δ E ˙ m e c , f l u i d o ⋅ η t u r b i n a

onde Δ E ˙ m e c , f l u i d o é a taxa de energia mecânica que a turbina pega do vento para converter em energia elétrica. Ela é a energia cinética que o vento fornece para a turbina a cada segundo. Sua fórmula é a energia cinética por unidade de massa do vento k e multiplicada pela quantidade de massa que passa pelas pás da turbina a cada segundo m ˙ .

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = m ˙ ⋅ k e

A fórmula da quantidade de massa que passa pelas pás da turbina a cada segundo m ˙ é:

m ˙ = ρ ⋅ V ⋅ A

ρ é a densidade do ar e vale 1,25   k g / m 3 . A é a área pela qual o vento passa. Ela é toda área que as pás da turbina podem ocupar. Como as pás giram, essa área A que as pás ocupam é igual à área do círculo com 100   m de diâmetro D

A = π ⋅ D 2 4

Agora vamos aprender a calcular no próximo passo a quantidade de energia elétrica gerada pela turbina ao longo de um dia inteiro. Além disso, veremos como calcular a receita gerada por essa energia.

Passo 2

A quantidade de energia elétrica gerada W t u r b i n a em um dia 24   h é dada pela fórmula:

W t u r b i n a = W ˙ t u r b i n a ⋅ 24

A receita diária gerada pela venda dessa energia elétrica é a quantidade de energia gerada no dia multiplicada pelo preço de venda dessa energia U S $   0,06 / k W h .

R e c e i t a = W t u r b i n a ⋅ 0,06

Cuidado! Esse W t u r b i n a da fórmula acima tem que estar em k W ! Ou seja, teremos que converter o valor em watt W para o valor k W .

Pronto! Já sabemos como calcular tudo! Agora vamos substituir os valores que temos nas fórmulas que encontramos.

Passo 3

Vamos começar o cálculo de W ˙ t u r b i n a pela área A .

A = π ⋅ D 2 4       ⟹       A = π ⋅ 100 2 4       ⟹       A = 7853 , 98   m 2

Agora vamos achar o valor de m ˙ .

m ˙ = ρ ⋅ V ⋅ A       ⟹       m ˙ = 1,25 ⋅ 8 ⋅ 7853 , 98       ⟹       m ˙ = 78539 , 8   k g s

Substituindo o valor da velocidade do vento V na fórmula de k e , obtemos:

k e = V 2 2       ⟹       k e = 8 2 2       ⟹       k e = 32   J k g

Com esses valores, podemos achar Δ E ˙ m e c , f l u i d o .

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = m ˙ ⋅ k e

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 78539 , 8 ⋅ 32

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 2513273 , 6   J

Enfim, podemos achar W ˙ t u r b i n a pela equação abaixo.

W ˙ t u r b i n a = Δ E ˙ m e c , f l u i d o ⋅ η t u r b i n a

W ˙ t u r b i n a = 2513273 , 6 ⋅ 0,32

W ˙ t u r b i n a = 804247 , 552   J

Os cálculos de W t u r b i n a e R e c e i t a ficam para o próximo passo.

Passo 4

W t u r b i n a = W ˙ t u r b i n a ⋅ 24

W t u r b i n a = 804247 , 552 ⋅ 24

W t u r b i n a = 19301941 , 248   J

W t u r b i n a ≈ 19301 , 94   k J

A receita gerada por essa quantidade de energia elétrica gerada pela turbina vale:

R e c e i t a = W t u r b i n a ⋅ 0,06

R e c e i t a = 19301,94 ⋅ 0,06

R e c e i t a = U S $   1158,11

Resposta

W ˙ t u r b i n a = 804247 , 552   J

W t u r b i n a = 19301,94   k J

R e c e i t a = U S $   1158,11

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