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Enunciado

Termodinâmica - Introdução a termodinâmica da engenharia química, J.M.Smith Van Ness- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 16

Uma partícula inicialmente em repouso em x = 1 m é acelerada até que sua velocidade dobre de intensidade entre x = 2 m   e   x = 8 m . Sabendo que a aceleração da partícula é definida pela relação a = k   x   [ x - A x ] , determine os valores da constante A   e   k se a partícula tem velocidade de 29   m / s quando x = 16 m .

Passo 1

E ai gurizada tudo bem? O enunciado pede que a gente a velocidade, a posição e a distância total percorrida quando t = 7 s .

Temos: v d v d x = a = k   x   x - A x

Quando x = 1 f t ,     v = 0 : ∫ o v v d v = ∫ 1 x k   x   x - A x d x

Ou 1 2 v 2 = k   x   1 2 x 2 - A   I n x 1 x   = k   x   1 2 x 2 - A   I n   x - 1 2

Passo 2

Em: x = 2 m : 1 2 v 2 2 = k   x   1 2   x   2 2 - A   I n   2 - 1 2 = k   x   ( 3 2 - A I n 2 )

x = 8   m 1 2 v 8 2 = k   x   1 2   x   8 2 - A   I n   8 - 1 2 = k   x   ( 31,5 - A I n   8 )

Passo 3

Agora v 8 v 2 = 2 : 1 2 v 8 2 1 2 v 2 2 = 2 2 = k   x   ( 31,5 - A I n   8 ) k   ( 3 2 - A I n   2 )

Ou 6 - 4   A I n   2 = 31,5 - A I n   8

Ou 25,5 = A   x   I n 8 - 4 I n 2 = A   x   I n 8 - I n 2 4 = A I n   x   1 2

Quando x = 16 f t ,   v = 29 f t s : 1 2   x   29 2 = k   x   1 2   x   16 2 - 25,5 i n   x   1 2 I n   x   16 - 1 2

Notar que: I n   x   16 = 4 I n 2     e     I n   x   1 2 = - I n   x   ( 2 )

Temos: 841 = k   x   236 - I n   25,5 -   I n   x   2 = 4 I n   x   2 - 2

Resposta

A = - 36,8   m ²

k = 1,832   s - 2