30 partículas distinguíveis distribuídas por três níveis de energia não degenerados, designados por 1,2 , 3 , tais que N 1 = N 2 = N 3 = 10 . Os níveis de energia são e 1 = 2   e V , e 2 = 4   e V ,   e 3 = 6   e V .

  1. Se a mudança no número de ocupação do nível 2 for δ N 2 = - 2 , ache δ N 1 e δ N 3 , de tal modo que δ E = 0 .
  2. Ache a probabilidade termodinâmica do macroestado antes e depois da mudança.

Passo 1

Opa, brother do Responde Aí, Como você está?

Aqui quem fala é a Jacyara e vamos resolver juntinhos essa questão de mecânica estatística. Bem, a Mecânica estatística não é algo tão simples de se entender e resolver. Mas vamos devagarzinho para todo mundo sair entendendo, beleza?

Para resolver a questão precisamos prestar a atenção em dois detalhes cruciais que foram informados no enunciado, você conseguiu perceber quais são?

Não? Então relaxaaa, o primeiro detalhe é que não tem degenerescência, ou seja, não temos multiplicidade nos níveis de energia. Assim podemos informar que a energia total é a soma de cada nível energético, matematizando fica assim:

E = n 1 e 1 + n 2 e 2 + n 3 e 3

E outra informação muito importante é que as partículas são distinguíveis, isso implica em dizer que suas propriedades diferem uma da outra, sacou?

Calminha, imagina por exemplo que na escola tem duas turmas de primeiro ano, o primeiro ano A e o primeiro ano B.

Aí temos Pedro que estudou no primeiro ano A e temos João que estuda no B, logo as propriedades de Pedro e João são diferentes. Não é porque eles estudam na mesma escola que eles precisam ser parecidos. Tipo, João pode ser maior, Pedro pode ser mais amigável, e aí sacou a ideia?

Por isso vamos utilizar a estatística de Maxwell-Boltzman, pois foi criada justamente para essa questão. E ae, vamos resolver? Bora lá

Passo 2

Primeiramente precisamos da variação da energia que pode ser obtida através da seguinte continha:

δ E = δ ( n 1 e 1 + n 2 e 2 + n 3 e 3 )

Como a energia de cada nível continua constante, temos que:

δ E = δ n 1 δ e 1 + δ n 2 e 2 + δ n 3 e 3

Além disso temos que a questão nos informa que e 1 = 2   e V , e 2 = 4   e V ,   e 3 = 6   e V   junto com a seguinte informação δ N 2 = - 2 , portanto:

δ E = δ n 1 δ e 1 + δ n 2 e 2 + δ n 3 e 3 = δ n 1 2 + - 2 * 4 + δ n 3 ( 6 )

Gerando a seguinte equação:

δ E = 2 δ n 1 + 6 δ n 3 - 8

Passo 3

A alternativa a) nos pede para calcular δ n 1 e δ n 3 no qual forneça um δ E = 0 . Portanto:

δ E = 2 δ n 1 + 6 δ n 3 - 8 = 0

Aqui temos que sacar uma coisa, o nível 2 perdeu duas partículas e temos que partículas é uma entidade discreta. Você não pode falar algo do tipo, 3 4 m a r c i a Saiu da festa cedo ontem, sacas?

Então, se o segundo nível perdeu duas partículas, os demais ganharam. E olhando a equação, fazendo δ n 1 = 1 e δ n 3 = 1 , temos que a solução bate certinho.

Portanto, temos que se variar:

δ n 1 = 1

δ n 2 = - 2

δ n 3 = 1

Produziremos uma variação na energia de δ E = 0 .

Passo 4

A alternativa b) pede para calcular a probabilidade termodinâmica do macroespaço antes e depois da variação.

Para isso vamos precisar da estatística de Maxwell-Boltzman, onde a formulinha é a seguinte:

ω M B = N !     ∏ j g N j N j !

Como a nossa degenerescência é nula temos que:

ω M B = N !     ∏ j 0 N j N j ! = N ! ∏ j N j !

Antes da variação tínhamos 3 estados cada um com 10 partículas como foi notificado na questão, logo:

ω M B , a n t e s = n 1 + n 2 + n 3 ! n 1 ! n 2 ! n 3 ! = 30 ! 10 ! 10 ! 10 ! = 5,55 E 12

Aplicando as variações que foram calculadas na alternativa anterior, temos que:

n 1 + δ n 1 = 11

n 2 + δ n 2 = 8

n 3 + δ n 3 = 11

Agora temos que a estatística se torna:

ω M B , D e p o i s = n 1 + n 2 + n 3 ! n 1 ! n 2 ! n 3 ! = 30 ! 11 ! 8 ! 11 ! = 4,12 E 12

Resposta

a )   δ n 1 = 1 ,   δ n 2 = - 2 ,   δ n 3 = 1

b )   ω M B , a n t e s = 5,55 E 12

ω M B , D e p o i s = 4,12 E 12