Resolva o problema 11.9 para seis partículas indistinguíveis, que obedecem à estatística de F-D. Neste caso Ω = 162

Passo 1

E ae brother do Responde Aí, tá tudo ok?

Hoje vamos resolver mais uma questãozinha de mecânica estatística. Vale lembrar que não é algo muito simples de resolver, mas vamos responder juntinhos para um melhor entendimento, belezinha?

A questão pede para calcularmos as propriedades do macroestado do sistema, como a probabilidade estatística e o número de ocupação do estado de energia. Mas para isso precisamos utilizar alguma estatística, porém a questão nos pede para realizar a questão utilizando a estatística F-E. Que é a seguinte formulinha:

ω F - E = ∏ j g j g j - N j N j

Lembrando uma coisa, a estatística F-E ela leva em consideração o princípio de exclusão de Pauling, ou seja, cada nível de energia não pode ter mais partículas que a degenerescência que é g = 3 .

E esse valor vem do exercício 11.9 que, consequentemente, vem do exemplo 11.6, iae sacou?

Passo 2

Primeiramente, para resolver esse tipo de questão precisamos montar os níveis de energia, mas como montar isso?

Cara é chatinho, mas precisa desenhar, é a forma mais concreta de fazer esse negócio.

A questão nos informa que temos 8 níveis de energia e a energia total de um macroestado precisa ser e = U = 7 e , portanto, começando no 0 teremos a linha do 0 e depois teremos uma linha para cada nível gerando 8 níveis de energia. Ficando assim:

Nomeando os níveis de energia por e / e i para ficar mais bonitinho na tabela. Para desenhar, cada um faz do seu jeito. Eu faço assim, eu coloco tudo no estado fundamental e vou distribuindo ao longo dos níveis até ficar com a energia que é 7. Aí temos que no primeiro nível por exemplo fica assim:

Veja que o nível mais alto é o 5, para o primeiro estado. Para o segundo estado eu coloco 3 partículas no estado fundamental o 0, e vou distribuindo de uma forma que fique diferente do anterior. Depois de realizar isso inúmeras vezes o meu fica:

E essa é nossa distribuição de energia, sacou? Bora, para os próximos passos.

Passo 3

Para os próximos passos, precisamos calcular o número total de microestados que é dado pela seguinte fórmula:

w k = ∏ j g j ! g j - N j ! N j !

E vamos aplicar essa formulinha em cada macroestado. Temos que, para o primeiro macroestado, existe 1 Partícula no nível 5, 2 no nível 1 e 3 no nível 0. Portanto, temos que:

w 1 = 3 ! 3 - 1 ! 1 ! * 3 ! 3 - 2 ! 2 ! * 3 ! 3 - 3 ! 2 ! = 9

Realizando para os próximos estados podemos colocar mais uma linha que se chama probabilidade e nossa tabelinha se torna:

Somando os elementos da linha probabilidade temos que:

Ω = ∑ k w k = 162

Passo 4

Agora precisamos apenas calcular o número de ocupações presente em cada nível de energia e para isso vamos utilizar a seguinte formulinha:

N j = 1 Ω ∑ k w k N k

Agora vamos calcular o número de ocupações no 5 nível por exemplo temos 1 partícula no nível 5 com com k = 1 , com um peso termodinâmico w 1 = 9 . Portanto:

N 5 = 1 * w k = 1 162 = 9 162 = 0,056

No demais níveis, temos:

N 4 = 1 * w k = 2 + 1 * w k = 8 162 = 27 + 9 162 = 0,222

N 3 = 1 * w k = 3 + 1 * w k = 4 + 2 * w k = 5 162 = 9 + 81 + 2 * 9 162 = 0,667

N 2 = 1 * w k = 2 + 1 * w k = 3 + 2 * w k = 4 + 1 * w k = 6 + 1 * w k = 7 162 = 1,056

N 1 = 2 * w k = 1 + 1 * w k = 2 + 2 * w k = 4 + 1 * w k = 5 + 1 * w k = 6 + 3 w k = 7 + 3 w k = 8 162 = 1,722

N 0 = 3 * w k = 1 + 3 * w k = 2 + 3 w k = 3 + 2 * w k = 4 + 3 * w k = 5 + 2 * w k = 6 + 1 w k = 7 + 2 w k = 8 162 = 2,278

E finalmente terminamos a questão, aqui calculamos todas as proporções de ocupações em cada nível de energia.

Resposta

E calculando tudo geramos a seguinte figurinha: