Enunciado

Resolva o problema 11.9 para seis partículas indistinguíveis, que obedecem à estatística de M-B. Neste caso Ω = 5,77 E 5

Passo 1

Olá, aqui quem fala é a Jacyara do Responde Aí. Como você está? Está tudo em cima?

Bem, hoje vamos resolver mais uma questãozinha de mecânica estatística. Essa disciplina é uma área da física que não é tão amigável a uma primeira visão. Mas, vamos fazer passo a passo para você entender tudinho, belezinha?

A questão pede para calcularmos as propriedades do macroestado do sistema, ou seja, a probabilidade estatística e o número de ocupação do estado de energia.

Mas para isso precisamos utilizar alguma estatística, porém a questão nos pede para realizar a questão utilizando a estatística M-B. Que é a seguinte formulinha:

ω M - B = N ! ∏ j g j N j N j !

Lembrando um detalhezinho que a estatística M-B ela leva em consideração que a combinação A B é diferente de B A por isso são distinguíveis. Por isso, os valores encontrados aqui são bem grandinhos.

AHHH!! O valor de g =3 em conjunto de todos os dados que vamos utilizar é dado pelas questões anteriores que vem de um exemplo do próprio livro, sacou?

Passo 2

Primeiramente para resolver esse tipo de questão precisamos montar os níveis de energia, deve estar vindo na sua cabeça, “como montar isso?”

Cara é chatinho, mas precisa desenhar, é a forma mais concreta de fazer esse negócio.

A questão nos informa que temos 8 níveis de energia e a energia total de um macroestado precisa ser e = U = 7 e , portanto, começando no 0 teremos a linha do 0 e depois teremos uma linha para cada nível gerando 8 níveis de energia. Ficando assim:

Nomeando os níveis de energia por e / e i para ficar mais bonitinho na tabela. Para desenhar, cada um faz do seu jeito. Eu faço assim, eu coloco tudo no estado fundamental e vou distribuindo ao longo dos níveis até ficar com a energia que é 7. Aí temos que no primeiro nível por exemplo fica assim:

Veja que o nível mais alto é o 5, para o primeiro estado. Para o segundo estado eu coloco 3 partículas no estado fundamental o 0, e vou distribuindo de uma forma que fique diferente do anterior. Depois de realizar isso inúmeras vezes o meu fica:

E essa é nossa distribuição de energia, sacou? Bora, para os próximos passos.

Passo 3

Agora que conseguimos desenhar os estados de energia, vamos calcular o número de microestados através dessa formulinha super amigável:

ω M - B = N ! ∏ j g j N j N j !

Agora precisamos aplicar essa formulinha em cada macroestado. Temos que, para o primeiro macroestado, existe 1 Partícula no nível 5, 2 no nível 1 e 3 no nível 0. Ou seja, temos 3 níveis de energia somando 6 partículas no total, logo:

w 1 = 6 ! g 1 1 1 ! * g 1 2 2 ! * g 1 1 3 ! = 6 ! 3 1 1 ! * 3 5 5 ! = 4374

Agora realizando para os demais microestados:

w 2 = 6 ! ( 3 1 ! * 3 1 ! * 3 4 4 ! ) = 21870

w 3 = 6 ! ( 3 1 ! * 3 1 ! * 3 4 4 ! ) = 21870

w 4 = 6 ! 3 1 1 ! * 3 2 2 ! * 3 3 3 ! = 43740

w 5 = 6 ! ( 3 1 ! * 3 1 ! * 3 4 4 ! ) = 21870

w 6 = 6 ! 3 1 ! * 3 1 ! * 3 1 ! * 3 3 3 ! = 87480

w 7 = 6 ! 3 1 1 ! * 3 2 2 ! * 3 3 3 ! = 43740

w 8 = 6 ! 3 1 ! * 3 1 ! * 3 2 2 ! * 3 2 2 ! = 131220

w 9 = 6 ! 3 1 1 ! * 3 2 2 ! * 3 3 3 ! = 43740

w 10 = 6 ! 3 1 1 ! * 3 2 2 ! * 3 3 3 ! = 43740

Colocando tudo numa tabelinha bem legal temos:

Somando os elementos da linha probabilidade temos que:

Ω = ∑ k w k = 5,77 E 5

Passo 4

Agora precisamos apenas calcular o número de ocupações presente em cada nível de energia e para isso vamos utilizar a seguinte formulinha:

N j = 1 Ω ∑ k w k N k

Para calcular o número de ocupações no 7 nível por exemplo, temos apenas 1 partícula no nível 7 com com k = 1 , com um peso termodinâmico w 1 = 9 . Portanto:

N 7 = 1 * w k = 1 162 = 4374 5,77 E 5 = 0,0075

No demais níveis, temos:

N 6 = 1 * w k = 2 162 = 21870 5,77 E 5 = 0,0378

N 5 = 1 * w k = 3 + 1 * w k = 4 5,77 E 5 = 87480 + 43740 5,77 E 5 = 0,114

N 4 = 1 * w k = 5 + 1 * w k = 6 + 1 * w k = 7   5,77 E 5 = 0,265

N 3 = 1 * w k 5 + 1 * w k = 8 + 2 * w k = 9 5,77 E 5 = 0,530

N 2 = 1 * w k = 2 + 1 * w k = 3 + 1 * w k = 6 + 1 * w k = 8 + 2 * w k = 9 + 2 * w k = 10 5,77 E 5 = 0,955

N 1 = 2 * w k = 4 + 1 * w k = 6 + 3 * w k = 7 + 2 * w k = 8 + 3 * w k = 10 5,77 E 5 = 1,591

N 0 = 5 * w k = 1 + 4 * w k = 2 + 4 * w k = 3 + 3 * w k = 4 + 4 * w k = 5 + 3 * w k = 6 + 2 * w k = 7 + 2 * w k = 8 + 3 * w k = 9 + 1 * w k = 10 5,77 E 5 = 2,500

E finalmente terminamos a questão, aqui calculamos todas as proporções de ocupações em cada nível de energia.

Resposta

E calculando tudo geramos a seguinte figurinha: