Enunciado

O ar num tanque está a 1   M P a e a temperatura ambiente de 20   ° C . O ar é utilizado para encher um balão inicialmente vazio até uma pressão de 200   k P a , na qual o diâmetro do balão é de 4   m e a temperatura é 20   ° C . Admita que a pressão no balão é linearmente proporcional ao seu diâmetro e que o processo no interior do balão é isotérmico, com T = 20 °   C . Determine a massa de ar no balão e o volume mínimo necessário para o tanque.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo tranks? Vamos lá resolver nosso probleminha!

Como é de prache, vamos supor que estamos lidando com um gás ideal!

De novo isso, hein?

E pra facilitar a nossa vida, vamos considerar que esse balão é uma esfera... Afinal, ninguém aqui é bobo, né gente?

Além disso... Se liga lá na fórmula dos gases ideais...

P V = n R T

Como;

n = m M

Então;

P V = m M R T

Se R estiver em termos da massa molar, então a fórmula anterior fica assim...

P V = m R T

Onde o valor da constante R do ar é...

R = 0 , 287   k J / k g ⋅ K

Passo 2

E uma vez que o balão é uma esfera, então seu volume é...

V b a l ã o = 4 3 π r 3

Como o raio r do balão é...

r = 4 2   m = 2   m

Então;

V b a l ã o = 4 3 π ⋅ 2 ³

V b a l ã o = 33,51   m ³

Esse é o volume que o ar ocupa à 20 °   C e 200   k P a ! E pra achar a massa do ar no balão, basta a gente usar aquela relaçãozinha dos gases ideais...

m b a l ã o = P V b a l ã o R T

m b a l ã o = 200 ⋅ 33,51 0,287 ⋅ 273,15

m b a l ã o = 79,66   k g

Passo 3

Como o ar do balão vai ser transportado pro tanque, então a massa total que vai ter no tanque será dada por...

m t o t a l = m b a l ã o + m a r   n o   t a n q u e

Onde esse m a r   n o   t a n q u e é a massa de ar que já estava no tanque a 1   M P a e a temperatura ambiente de 20   ° C ...

m t o t a l = m b a l ã o + m a r   n o   t a n q u e

P 1 V t a n q u e R T 1 = 79,66 + P 2 V t a n q u e R T 2

T 2 é a temperatura ambiente de 20 °   C = 273,15 + 20   K . E a pressão P 2 é dada pela diferença;

P 2 = 1000   k P a - 200   k P a

P 2 = 800   k P a

Sendo assim, basta substituir e isolar V t a n q u e :

P 1 V t a n q u e R T 1 = 79,66 + P 2 V t a n q u e R T 2

P 1 V t a n q u e R T = 79,66 + P 2 V t a n q u e R T

V t a n q u e = 79,66 R T P 1 - P 2

V t a n q u e = 79,66 ⋅ 0,287 ⋅ 293,15 800

V t a n q u e = 8,377   m ³

Pronto! Resposta encontrada!

Resposta

m b a l ã o = 79,66   k g

V t a n q u e = 8,377   m ³

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